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D:蘇卿念發紅包

首先,題目中已經說得很明確了(按照常理也是)。
當有 m m 個包,你第 k k 個搶。 k >

m k>m 的話。顯然,平時會顯示: 來晚了一步,紅包已經被領完了 \text{來晚了一步,紅包已經被領完了}
就是,已經被第 m
m
個及之前的人領完了。所以說,期望是 0 0

然後,看 k < = m

k<=m 的時候。

我們構造一個函式 f ( a , b , c ) 表示剩餘a元,還有b個包,你在第c個搶得到的期望 f(a,b,c)\text{表示剩餘a元,還有b個包,你在第c個搶得到的期望}

於是,我們就有一個期望的轉移:

f ( n , m , k ) = m 2 n 0 2 n m f ( n x , m 1 , k 1 )    d x f(n,m,k)=\frac{m}{2n}*\int_{0}^{\frac{2n}{m}}f(n-x,m-1,k-1) \ \ dx

特別的,當 k = 1 k=1

f ( a , b , 1 ) = b 2 a 0 2 a b x   d x f(a,b,1)=\frac{b}{2a}*\int_{0}^{\frac{2a}{b}}x \ dx

m = 1 m=1 時,我們這一類裡,只有 m = k = 1 m=k=1 f ( a , 1 , 1 ) = a f(a,1,1)=a


然後我們展開來看:

k ! = m k!=m : :

f ( n , m , k ) = m 2 n 0 2 n m m 1 2 ( n x 1 ) 0 2 ( n x 1 ) m 1 m 2 2 ( n x 1 x 2 )     m k + 2 2 ( n x 1 . . . x k 2 ) 0 2 ( n x 1 . . . x k 2 ) m k + 2 m k + 1 2 ( n x 1 . . . x k 1 ) 0 2 ( n x 1 . . . x k 1 ) m k + 1 x k   d x k   d x k 1 . . .   d x 1 f(n,m,k)=\frac{m}{2n}*\int_{0}^{\frac{2n}{m}}\frac{m-1}{2(n-x_{1})}\int_{0}^{\frac{2(n-x_{1})}{m-1}}\frac{m-2}{2(n-x_{1}-x_{2})} \ …… \ \frac{m-k+2}{2(n-x_{1}...-x_{k-2})}\int_{0}^{\frac{2(n-x_{1}...-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{m-k+1}{2(n-x_{1}...-x_{k-1})}\int_{0}^{\frac{2(n-x_{1}...-x_{k-1})}{m-k+1}}x_{k} \ d_{x_{k}}\ d_{x_{k-1}} ... \ d_{x_{1}}

k = m k=m 時,積分到:

2 2 ( n x 1