樹、堆

樹：

1、一課樹中的任意兩個結點有僅有唯一的一條路徑連通。
2、一棵樹如果有n個結點，那麼它一定恰好有n-1條邊。
3、在一棵樹中加一條邊將會構造一個迴路。

滿二叉樹：二叉樹所有的葉結點都有同樣的深度。
深度為：n，結點數：2**n - 1

完全二叉樹

如果一棵二叉樹除了最右邊位置上有一個或者幾個葉結點缺少外，其他是豐滿的，那麼這樣的二叉樹就完全二叉樹。嚴格的定義是：若設二叉樹的高度為h，除h層外，其他各層（1~h-1）的結點數都達到最大個數，第n層從右向左連續缺若干個結點，則這個二叉樹就是完全二叉樹。

通過上圖我們發現，如果完全二叉樹的一個父結點編號為k，那麼它左兒子的編號就是2*k，右兒子的編號就是2*k+1。如果已知兒子（左兒子或右兒子）的編號是x，那麼它父結點的編號就是x/2，注意這裡只取商的整數部分。
如果一顆完全二叉樹有N個結點，那麼這個完全二叉樹的高度為log2N，簡寫logN，即最多有logN層結點。完全二叉樹的最典型應用就是一個堆。

堆—神奇的優先佇列

最大堆：所有父節點都比兒子結點要大；
最小堆：所有父節點都比兒子結點要小；

 
很顯然最小的數就在堆頂，假設儲存這個堆的陣列叫做h的話，最小數就是h[1]。接下來，我們將堆頂的數刪除。將新增加的數23放到堆頂。顯然加了新數後已經不符合最小堆的特性，我們需要將新增加的數調整到合適的位置。那如何調整呢？

 
向下調整！我們需要將這個數與它的兩個兒子2和5比較，選擇較小的一個與它交換，交換之後如下。

我們發展此時還是不符合最小堆的特性，因此還需要繼續向下調整。於是繼續將23與它的兩個兒子12和7比較，選擇較小一個交換，交換之後如下。

至此，還是不符合最小堆的特性，仍需要繼續向下調整，直到符合最小堆的特性為止。

現在我們發現已經符合最小堆的特性了。綜上所述，當新增加一個數被放置到堆頂時，如果此時不符合最小堆的特性，則需要將這個數向下調整，直到找到合適的位置為止，使其重新符合最小堆的特性。

 
時間複雜度：logN

新增一個數：

構造一個最小堆

 
當然目前這個棵樹仍然不符合最小堆的特性，我們需要繼續調整以3號結點為根的子樹，即將3號結點向下調整。

同理，繼續調整以2號結點為根的子樹，最後調整以1號結點為根的子樹。調整完畢之後，整棵樹就符合最小堆的特性了。

像這樣支援插入元素和尋找最大 （小）值元素的資料結構稱為優先佇列。如果使用普通佇列來實現這兩個功能，那麼尋找最大元素需要列舉整個佇列，這樣的時間複雜度比較高。如果是已排序好的資料，那麼插入一個元素則需要移動很多元素，時間複雜度度依舊很高。而堆就是一種優先佇列的實現，可以很好地解決這兩種操作。

另外Dijkstr演算法中每次找離源點最近的一個頂點也可以用堆來優化，使演算法的時間複雜度降到O((M+N)logN)。堆還經常被用來求一個數列中第K大的數，只需要建立一個大小為K的最小堆，堆頂就是第K大的數。

　　注：內容來源於《啊哈.演算法》