圓周率的表示式的一種數學推導

阿新 • • 發佈：2018-11-09

題設：求圓周率的一種有理數表示式（近似值）

根據三角函式知識，有：

t a n (\frac{π}{4}) = 1

$tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
那麼有：

π = a r c t a n (1) \times 4

$\pi = arctan(1) \times 4$
至此，我們已經把圓周率表示為了一個連續可導的函式的值的形式。接下來嘗試用有理數來表示出它的近似值。
對於連續可導函式，可以使用泰勒級數，將其展開為冪級數的形式，以求取近似值。
泰勒級數的表示式是這樣的：

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) (x

−x0)n" role="presentation">

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})^{n}

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}$
關於泰勒級數的收斂性此處不再贅述，它在高等數學的教材中將是重要的一章。泰勒級數的思想是用（連續可導）函式在相鄰點處的函式值以及各階導數值來逼近所要求取的位置的值。
令：

f (x) = a r c t a n (x)

$f(x)=arctan(x)$
則有：

f^{(1)} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

$f^{(1)}(x)=\frac{1}{1+x^2}$
使用泰勒級數時，我們希望所建立的函式的各階導函式呈現出比較簡約的形式，而上方的函式的多次求導明顯將是一件較為複雜的事情，因此進行換元。構造如下函式：

g (t) = \frac{1}{1 + t} = (1 + t)^{(- 1)}

$g(t)=\frac{1}{1+t}=(1+t)^{(-1)}$
則有：

g^{(n)} (t) = (- 1)^{n} \cdot n! \cdot (t + 1)^{- n - 1}

$g^{(n)}(t)=(-1)^n \cdot n! \cdot (t+1)^{-n-1}$
所構造的函式的高階導函式有很簡約的形式，而且由 0 處展開明顯可以更好地簡化其導數值。
即有：

g^{(n)} (0) = (- 1)^{n} \cdot n! \cdot (0 + 1)^{- n - 1} = (- 1)^{n} \cdot n!

$g^{(n)}(0)=(-1)^n \cdot n! \cdot (0+1)^{-n-1}=(-1)^n \cdot n!$
從而得到了函式g(t)的泰勒級數展開：

g (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot t^{n}

$g(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot t^n$
帶回得：

f^{(1)} (x) = g (x^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot x^{2 n}

$f^{(1)}(x)=g(x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot x^{2n}$
對該式求定積分得原函式：

f (x) - f (0) = \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot z^{2 n} d z

$f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot z^{2n}dz$
定積分和求和可交換順序：

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \int_{0}^{x} z^{2 n} d z

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \int_{0}^{x}z^{2n}dz$
計算得：

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}