在ACM中，數學題很多，數學也是相當重要的。本題就要用到數學知識，真是書到用時方恨少，大家還是多記數學定理和結論吧。

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

Input The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input

1
10000
0

Sample Output

6
10

分析一下，本題求的是2004^x的約數和對29取模，這裡我們要計算，約數和，下面介紹兩個定理：

①整數唯一分解定理：

一個整數A一定能被分成：A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n)的形式。其中P_n為素數。

如2004=(2²)*3*167。

那麼2004^x=(2^2x)*(3^x)*(167^x)。

②約數和公式

對於一個已經被分解的整數A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n),

有約數和S=(1+P₁²+P₁³+.....P₁^k₁)*.....(1+P_n²+P_n³+.....P_n

^k_n)。

(1+P1²+P1³+.....P1^k1)是一個等比數列，化簡為(P1^k1+1 -1)/(P1-1).

對於2004^X, 只要求出a=pow(2,2*x+1)-1，b=pow(3,x+1)-1，c=pow(167,x+1)-1即可，使用快速冪取模計算。

所以我們要算的是（a*b/2*c/166)%29,那麼裡面這個除法怎麼處理呢，方法就是取乘法逆元，也就是說令e=2*166%29=9,則（a*b/2*c/166)%29=（a*b*c*e）%29。

下面是程式碼：

#include<cstdio>
#define ll long long
const int mod=29;
ll quickpow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	a=a%mod;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll x;
	while(~scanf("%lld",&x)&&x){
		ll a=quickpow(2,2*x+1)-1;
		ll b=quickpow(3,x+1)-1;
		ll c=quickpow(167,x+1)-1;
		printf("%lld\n",(a*b*c*9)%mod);
	}
 } 
 

當然，在網上查的時候看有的兄弟找出了規律做，在下實在佩服，可以參考：點選開啟連結

可能有的人不理解上面的除法（a*b/2*c/166)%29=（a*b*c*e）%29取模，其實這也是個推出來的結論，記憶就行了：

（因為這裡a、b、c是取模後的結果，所以不能拿他們直接除2*166，但是如果不取模可以除，但是太大了一定會溢位）

當我們要求（a / b） mod p的值，且 a 很大，無法直接求得a / b的值時，我們就要用到乘法逆元。
滿足 b * k ≡ 1 (mod p) 的 k 的值就是 b 關於 p 的乘法逆元。

我們可以通過求 b 關於 p 的乘法逆元 k，將 a 乘上 k 再模 p，即 (a * k) mod p。其結果與(a / b) mod p等價

（可以用擴充套件歐幾里得）

在下實力有限，歡迎大家指出錯誤，謝謝。