多項式求逆

Procedure

多項式求逆是多項式模組中的一個重要操作（“操作”這個詞看出如今多項式題是多麼的工業化，猶如毒瘤8操作LCT）,在做生成函式/多項式除法、多項式取模/多項式多點求值等中均有應用

對於一個n次多項式 $F(x)$

，我們希望求出一個m-1次多項式 $G(x)$，滿足 $F(x$

) G ( x ) ≡ 1 ( m o

d x m ) F(x)G(x)\equiv 1\pmod {x^m}
也就是說， $G(x)$為 $F(x)$在模 $x^m$意義下的逆（即 $x^m$以後的項我們都不管了，前面的項乘起來只有常數項係數為1，其他係數都是0）

多項式求逆運用了倍增的思想
假設我們已經求出了 $B(x),B(x)F(x)\equiv 1\pmod {x^{m\over 2}}$
考慮如何求 $G(x)$

移項
$B(x)F(x)-1\equiv 0\pmod {x^{m\over 2}}$
此時意味著 $B(x)F(x)-1$的0 ~ m/2-1次項的係數全都是0，那麼將同餘式兩邊平方，就變成0 ~ m-1次項的係數都為0
因此
$\left(B(x)F(x)-1\right)^2\equiv 0 \pmod {x^m}$
展開
$F^2(x)B^2(x)-2F(x)B(x)+1\equiv 0\pmod {x^m}$
提一個 $F(x)$出來
$F(x)\left(F(x)B^2(x)-2B(x)\right)\equiv -1\pmod {x^m}$

此時容易看出 $G(x)\equiv 2B(x)-F(x)B^2(x) \pmod {x^m}$
這樣就求出了 $F(x)$模 $x^m$意義下的乘法逆元
我們從m=1開始做，此時直接求常數項的乘法逆元即可，
然後可以推出m=2,4,8,16…
這樣一直倍增下去，直到m>=我們所需要的次數，此時直接取前面我們需要的項，後面多出來的直接設為0即可（模掉了沒有影響）

注意，由於我們求 $G(x)$是在模 $x^m$意義下進行的，而不是 $x^{m\over 2}$，因此即使 $B(x)$的次數為m/2-1，此時的 $F(x)$的次數仍然要取m-1

分析時間複雜度
$T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n)$（常數相當大）

Code

void make(int l,LL *a,LL *b)//l為我們需要的次數，a為待求逆多項式，用b來儲存結果
{
	b[0]=ksm(a[0],mo-2);//求常數項逆元
	for(int m=1,t=2,num=4,cnt=2;m<l;m=t,t=num,num<<=1,cnt++)
	//由於乘法有平方操作，因此NTT的範圍需要開到2倍。
	//t為當前的模數次數,m=t/2
	{
		prp(num,cnt);//預處理單位根、反位等
		fo(i,0,m-1) c[i]=a[i],d[i]=b[i];
		fo(i,m,t-1) c[i]=a[i];
		fo(i,t,num-1) c[i]=0;
		NTT(c,0,num),NTT(b,0,num);
		fo(i,0,num-1) b[i]=b[i]*b[i]%mo*c[i]%mo;
		NTT(b,1,num);
		fo(i,0,t-1) b[i]=((LL)2*d[i]-b[i]+mo)%mo;
		fo(i,t,num-1) b[i]=0;
	}		
}

多項式除法（多項式取模）

Procedure

多項式除法/取模也是多項式模組中的一個重要操作，在做生成函式/多項式多點求值等中均有應用。。。
對於一個n次多項式 $F(x)$，m次多項式 $G(x)$(n>=m)，我們希望求出一個n-m次多項式 $H(x)$，一個至多m-1次的多項式 $R(x)$，滿足 $F(x)=G(x)H(x)+R(x)$，並且 $R(x)$小於 $G(x)$

當 $R(x)\equiv 0\pmod {x^{n-m+1}}$

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