閒著沒事幹研究些黑科技（霧）

多項式求逆

求 A(x)*B(x)==1(mod x^n)
其中n為A(x)，B(x)的度的較大值
已知A(x)求B(x)，B(x)=A(x)^(-1)(mod x^n)

假設n=1，則B(x)=A(x)常數項在mod p 意義下的的逆元
假設n>1
已知 A(x)*B’(x)==1(mod x^(n/2))
A(x)*B(x)==1(mod x^n) ==> A(x)*B(x)==1(mod x^(n/2))
兩式相減
A(x)*(B(x)-B’(x))==0(mod x^(n/2))
A(x)顯然不全0，否則無解
同除掉A(x)：B(x)-B’(x)==0(mod x^(n/2))
兩邊同時平方
B(x)^2-2*B(x)*B’(x)+B’(x)^2==0(mod x^n)
兩邊同乘A(x)
A(x)*B(x)==0(mod n)
所以可化為：B(x)-2*B’(x)+B’(x)^2*A(x)==0(mod x^n)
B(x)=2*B’(x)-B’(x)^2*A(x)(mod x^n)
直接上NTT就好了
從n=1一直往回推，時間複雜度O（n(logn)^2）

多項式開根

求 B(x)*B(x)==A(x)(mod x^n)

如果n==1，直接把A(x)中的常數項搞個二次剩餘
對於n>1
考慮 B’(x)^2==A(x)(mod x^(n/2))
同樣的思路，把第一個式子變成 B(x)^2==A(x)(mod x^(n/2))
兩式相減 (B(x)+B’(x))*(B(x)-B’(x))==0(mod x^(n/2))
可以得到B(x)有兩個解，考慮B(x)=B’(x)(mod意義下)
B(x)-B’(x)==0(mod x^(n/2))
兩邊平方 B(x)^2-2*B(x)*B’(x)+B’(x)^2==0(mod x^n)
將B(x)^2==A(x)(mod x^n)代入
A(x)-2*B(x)*B’(x)+B’(x)^2==0(mod x^n)
B(x)=A(x)+B’(x)^2 / 2*B’(x) (mod x^n)
套多項式求逆和NTT就好了