Description

剛剛解決完電力網路的問題, 阿狸又被領導的任務給難住了.
剛才說過, 阿狸的國家有n 個城市, 現在國家需要在某些城市對之間建立一些貿易路線, 使得整個國家的任意兩個城市都直接或間接的連通.
為了省錢, 每兩個城市之間最多隻能有一條直接的貿易路徑. 對於兩個建立路線的方案, 如果存在一個城市對, 在兩個方案中是否建立路線不一樣, 那麼這兩個方案就是不同的, 否則就是相同的. 現在你需要求出一共有多少不同的方案.
好了, 這就是困擾阿狸的問題. 換句話說, 你需要求出n 個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目.
由於這個數字可能非常大, 你只需要輸出方案數mod 1004535809(479 * 2 ^21 + 1)即可.
n<=130000

Solution

我們有兩種思路
一是考慮DP
設 $f[i]$為i個點的無向連通圖個數， $g[$

正難則反，我們可以考慮用總的減去不連通的
不妨列舉某一個點所在的聯通塊的大小（為了避免重複，我們當做列舉的點是標號最小的那個）
那麼 $f[i]=g[i]-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f[j]*{i-1\choose j-1}*g[i-j]$
列舉1號點所在連通塊大小，組合數計算其中點的情況，剩下i-j個點隨便組成一個無向圖
這一定唯一對應了一種不合法情況

直接轉移複雜度是不能接受的，考慮優化
看到 $f[j]*g[i-j]$我們容易想到卷積
組合數拆開
$f[i]=g[i]-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f[j]*{(i-1)!\over (j-1)!(i-j)!}*g[i-j]$
分配一下，(i-1)除過來
${f[i]\over (i-1)!}={g[i]\over (i-1)!}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}{f[j]\over (j-1)!}*{g[i-j]\over (i-j)!}$

此時可以考慮用CDQ分治
對於分治區間 $[l,r]$，遞迴計算 $[l,mid]$，然後用NTT快速計算出 $[l,mid]$對 $[mid+1,r]$的貢獻，然後遞迴右邊即可

複雜度 $O(n\log^2 n)$

然而這不是重點

如果我們移項，將左邊的併入右邊卷積式子，就有
${g[i]\over (i-1)!}=\sum\limits_{j=1}^{i}{f[j]\over (j-1)!}*{g[i-j]\over (i-j)!}$

如果我們將上面三部分分別看成三個多項式 $A(x),F(x),B(x)$
$A(x)=\sum\limits_{i&gt;0}{g[i]*x^i\over (i-1)!}$
$B(x)=\sum\limits_{i\geq0}{g[i]*x^i\over i!}$
$F(x)=\sum\limits_{i&gt;0}{f[i]*x^i\over (i-1)!}$

容易看出 $A(x)=B(x)F(x)$