bzoj3456: 城市規劃

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分析

方法1：算二次法

考慮一張 $n$點的有標號無向圖的個數，顯然一共 $C_n^2$

C_n^2 條邊，所以方案數是 $g_n=2^{C_n^{}}$

2 g_n=2^{C_n^2}
設 $f_i$表示 $i$

i 個點的無向連通圖，一種計數的套路是列舉標號為1的點的所在聯通快大小，得到
$g_n=\sum_{i=1}^nf_i\cdot C_{n-1}^{i-1}\cdot g_{n-i}$
$\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n\frac{f_i}{(i-1)!}\cdot \frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$
這是一個卷積的形式
令 $G=\sum \frac{g_i}{i!}x^i,F(i)=\frac{f_i}{(i-1)!}x^i, M(i)=\frac{g_i}{(i-1)! }x^i$
那麼有
$G\cdot F = M$
$F=M \cdot G^{-1}$
多項式求逆即可。

方法1：指數生成函式

具體可以看這裡
搞出 $G(n)$的EGF
$G(x)=\sum2^{C_i^2}\frac{x}{i!}$
搞出 $F(n)$的EGF
$F(x)=\sum f_i\frac{x}{i!}$
根據指數生成函式的集合劃分意義，可以得到
$G(x)=e^{F(x)}$
然後 $F(x)=ln(G(x))$
所以多項式求ln即可
具體方法是
$\frac{dF}{dx}=\frac{dG}{G(x)}$
然後
$F(x)=\int \frac{dG}{G(x)}$
求導->多項式求逆->積分即可。
式子退出來是和方法1一樣樣的

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 524288, P = 1004535809;
int ri() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int fix(int x) {return (x >> 31 & P) + x;}
int add(int a, int b) {return a += b, a >= P ? a - P : a;}
int mul(int a, int b) {return 1LL * a * b % P;}
int Pow(int x, int k) {
    int r = 1;
    for(;k; x = mul(x, x), k >>= 1)
        if(k & 1)
            r = mul(r, x);
    return r;
}
int Inv(int x) {return Pow(x, P - 2);}
int n, L, InvL, R[N], w[N], f[N], g[N], G[N], F[N], dG[N];
namespace NTT {
    void Pre(int m) {
        int x = 0; L = 1;
        for(;(L <<= 1) < m; ++x) ;
        for(
            
  
           

              
              
            
            
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 分析 
 方法1：算二次法 
 考慮一張
     
      
       
        
         n
        
       
       
        n
       
      
     n點 

  
 

    

    
    
[BZOJ3456]城市規劃(生成函數+多項式求逆+多項式求ln)
     
 n)   100%   存在   d+   ont   inner   tar   現在   一行   


城市規劃
時間限制：40s      空間限制：256MB








題目描述
 剛剛解決完電力網絡的問題, 阿貍又被領導的任務給難住了.
 剛才說過, 阿貍的國家 

  
 

    

    
    
BZOJ3456: 城市規劃 多項式求逆
     
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3456: 城市規劃
Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 798  Solved: 451[Submit][Status][Di 

  
 

    

    
    
[JZOJ3303][BZOJ3456] 城市規劃【多項式】【生成函式】【未完成】
     
  
 
  
  
 Description 
  
  剛剛解決完電力網路的問題, 阿狸又被領導的任務給難住了. 剛才說過, 阿狸的國家有n 個城市, 現在國家需要在某些城市對之間建立一些貿易路線, 使得整個國家的任意兩個城市都直接或間接的連通. 為了省錢, 每兩個城市之間最多隻能有一條直接的貿易路徑. 對 

  
 

    

    
    
2019.01.03 bzoj3456: 城市規劃（生成函式+多項式取對）
     
  
 
  
  
 傳送門 生成函式好題。 題意：求n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目 
  
 思路： 對簡單無向圖構造生成函式
     
      
       
        
         f
        
        
         (
        
      

  
 

    

    
    
「Codeforces438E」The Child and Binary Tree-生成函式+多項式求逆+多項式開方
     
  
  
  
 Description 
 連結 
 Solution 
 設
     
      
       
        
         
          f
         
         
          i
         
        
       
    

  
 

    

    
    
[帶標號無向連通圖計數 容斥原理 多項式求逆 多項式求ln 模板題] BZOJ 3456 城市規劃
     
 
							
							
							可以通過容斥求出答案的表示式fi=2C2i−∑j=1i−1Cj−1i−1∗fj∗2C2i−j 
其中前一部分表示i個點任意連邊 後半部分列舉1所在的連通塊然後容斥掉



∑j=1ifj(j−1)!∗2C2i−j(i−j)!=2C2i(i−1)! 
這是個卷積的 

  
 

    

    
    
2019.01.01 bzoj3625:小朋友和二叉樹（生成函式+多項式求逆+多項式開方）
     
  
 
  
  
 傳送門 
      
       
        
         
          c
         
         
          o
         
         
          d
         
         
          

  
 

    

    
    
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 神仙題系列。。。 首先寫出每件商品的生成函式，假設體積為
     
      
       
        
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【BZOJ3625】【codeforces438E】小朋友和二叉樹 生成函數+多項式求逆+多項式開根
     
 ==   reverse   turn   chang   一個   函數   span   化簡   amp   首先，我們構造一個函數$G(x)$，若存在$k∈C$,則$[x^k]G(x)=1$。
不妨設$F(x)$為最終答案的生成函數，則$[x^n]F(x)$即為權值為$n$的神犇二叉樹個數 

  
 

    

    
    
bzoj3456 城市規劃
     
 ret   化簡   include   bzoj   tdi   解決   總數   所在   繼續   

Description

求含有n個點有標號的無向聯通圖的個數（沒有重邊），n<=130000





Input

3





Output

4 

  
 

    

    
    
BZOJ3456: 城市規劃
     
 BZOJ3456: 城市規劃 
https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 
分析: 
 
 設\(f[n]\)表示\(n\)個點的答案， \(g[n]\)表示總方案數。 
 列舉和\(1\)連通的點的個數， \(f[n]=g[n]-\sum\limit 

  
 

    

    
    
[BZOJ3625][Codeforces Round #250][多項式求逆][多項式開根]小朋友和二叉樹
     
 
							
							
							模板題 
題解



#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstrin 

  
 

    

    
    
[bzoj 3625][Codeforces Round #250]小朋友和二叉樹 NTT多項式求逆+多項式開根
     
 
							
							
							Description

我們的小朋友很喜歡電腦科學，而且尤其喜歡二叉樹。 
考慮一個含有n個互異正整數的序列c[1],c[2],…,c[n]。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c[1],c[2],…,c[n]}中，我們的小朋友就會將其稱作 

  
 

    

    
    
bzoj3625(NTT+多項式求逆+多項式開根）
     
 
							
							
							這題是我搜NTT搜到的，當時就看到“多項式開根”這樣的標題，於是找到了L-leader的部落格，補了下冪級數的東西，用兩節數學課學會了。

題面

我再看題解，好像都是教我怎麼開方，求逆的，然後又拖了幾天。終於昨晚睡不著，突然就想到了。。。

先介紹一下生成函式 

  
 

    

    
    
[Notes][多項式]雜記 · 多項式演算法—多項式求逆 多項式取模 多項式開根…
     
 
							
							
							多項式

由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式 
形如：f(x)=∑ni=0aixif(x)=∑i=0naixi， 
degf(x)deg⁡f(x)稱為ff的度，是f(x)f(x)最高次項的次數。



生成函式

形如∑∞i=0aixi∑i=0∞aixi  

  
 

    

    
    
luogu P4725 多項式對數函數 (模板題、FFT、多項式求逆、求導和積分)
     
 lld   sum   %d   detail   define   tdi   博客   while   復雜度   手動博客搬家: 本文發表於20181125 13:25:03, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/84487306
題目鏈 

  
 

    

    
    
洛谷P4841 城市規劃 [生成函數，NTT]
     
 show   play   所在   i+1   lin   problem   int   pac   emp   傳送門
題意簡述：求\(n?\)個點的簡單無向連通圖的數量\(\mod \;1004535809?\)，\(n \leq 130000?\)
經典好題呀！這裏介紹兩種做法：多項式求逆、多項式求 

  
 

    

    
    
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 swa   define   space   wap   mod   inpu   eve   urn   --   Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300000 
#define ll long long 
#define MOD 

  
 

    

    
    
求逆元求組合公式（有取餘）
     
  
 
 https://blog.csdn.net/weixin_40149887/article/details/79861045 
 求解方法： 
 
  先算出n!%p、m!%p、(n-m)!%p，用fac[i]表示 i!%p 的值 
  因為組合數取模是(n!)/(m!(n-m)!)%p，因此需要計