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bzoj 3456: 城市規劃 NTT+多項式求逆

阿新 • • 發佈：2018-12-24

題意

求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目。
你只需要輸出方案數mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.
n<=130000

分析

首先要知道遞推式

f[i]=2c2i−∑j=1i−1f[j]∗Cj−1i−1∗2C2i−j
如果不優化直接算的話顯然是不能夠接受的。考慮化簡式子。
將組合數展開，兩邊同除(i−1)!f[i](i−1)!=2C2i(i−1)!−∑j=1i−1f[j](j−1)!∗2C2i−j(i−j)! 2C2i(i−1)!=∑j=1if[j](j−1)!2C2i−j(i−j)!
容易發現這是一個卷積的形式。
設A[i]=f[i]
(i−1)!,B[i]=2C2ii!,C[i]=2C2i(i−1)!
那麼有C=A∗B=>A=C∗B−1
上多項式求逆即可。

多項式求逆：
現要求A∗G=1(modxm)
已求出B滿足A∗B=1(modxm2)
因為A∗G=1(modxm2)
所以(G−B)=0(modxm2)
兩邊平方得G2+B2−2G∗B=0(modxm)
G2=2G∗B−B2(modxm)
兩邊同乘A得G=2B−AB2

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
 

#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=300005;
const int MOD=1004535809;

int n,b[N],c[N],ny_b[N],jc[N],ny[N],rev[N],tmp[N];

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x
 
%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void fft(int *a,int n,int f)
{
    int lg=log(n)/log(2)+0.1;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
        if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    }
    for (int i=1;i<n;i*=2)
    {
        int wn=ksm(3,f==1?(MOD-1)/i/2:MOD-1-(MOD-1)/i/2);
        for (int j=0;j<n;j+=i*2)
        {
            int w=1;
            for (int k=0;k<i;k++)
            {
                int u=a[j+k],v=(LL)a[j+k+i]*w%MOD;
                a[j+k]=(u+v)%MOD;a[j+k+i]=(u-v+MOD)%MOD;
                w=(LL)w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        int w=ksm(n,MOD-2);
        for (int i=0;i<n;i++) a[i]=(LL)a[i]*w%MOD;
    }
}

void get_ny(int *a,int *b,int n)
{
    if (n==1)
    {
        b[0]=ksm(a[0],MOD-2);
        return;
    }
    get_ny(a,b,n/2);
    memcpy(tmp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(tmp+n,0,sizeof(tmp[0])*n);
    fft(tmp,n<<1,1);fft(b,n<<1,1);
    for (int i=0;i<n*2;i++) tmp[i]=(LL)b[i]*(2-(LL)tmp[i]*b[i]%MOD+MOD)%MOD;
    fft(tmp,n<<1,-1);
    for (int i=0;i<n;i++) b[i]=tmp[i];
    memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ny[0]=jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=ksm(jc[i],MOD-2);
    for (int i=0;i<=n;i++) b[i]=(LL)ksm(2,(LL)i*(i-1)/2%(MOD-1))*ny[i]%MOD;
    for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=(LL)ksm(2,(LL)i*(i-1)/2%(MOD-1))*ny[i-1]%MOD;
    int m;
    for (m=1;m<=n;m*=2);
    get_ny(b,ny_b,m);
    fft(c,m<<1,1);fft(ny_b,m<<1,1);
    for (int i=0;i<m*2;i++) c[i]=(LL)c[i]*ny_b[i]%MOD;
    fft(c,m<<1,-1);
    printf 
 

            
  

           

              
              

            

            
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BZOJ 3456 城市規劃  ( NTT + 多項式求逆 )

     
 out   mat   BE   def   sizeof   ted   online   connected   mod   題目鏈接：
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456
題意：
求出\(n\)個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖的 



  
 

    


    
    
bzoj 3456: 城市規劃 NTT+多項式求逆

     
 
							
							
							題意

求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目。 
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 desc   esc   swap   存在   line   tor   memcpy   status   geo   
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BZOJ 3456: 城市規劃 與 算法介紹(多項式求逆元 , dp)

     
 間接   zoj 3456   ini   不難   har   大小   #define   form   lock   
題面 :


求有 \(n\) 個點的無向有標號連通圖個數 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\)


題解 :

首先考慮 dp ... 直接算可行的方案數 , 



  
 

    


    
    
[帶標號無向連通圖計數 容斥原理 多項式求逆 多項式求ln 模板題] BZOJ 3456 城市規劃

     
 
							
							
							可以通過容斥求出答案的表示式fi=2C2i−∑j=1i−1Cj−1i−1∗fj∗2C2i−j 
其中前一部分表示i個點任意連邊 後半部分列舉1所在的連通塊然後容斥掉



∑j=1ifj(j−1)!∗2C2i−j(i−j)!=2C2i(i−1)! 
這是個卷積的 



  
 

    


    
    
【bzoj3456】城市規劃  容斥原理+NTT+多項式求逆

     
 方案   所在   scanf   整理   輸入   eof   輸出   std   define   題目描述
求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1).
輸入
僅一行一個整數n(<=130000)
輸出
僅一行一個整 



  
 

    


    
    
[bzoj 3625][Codeforces Round #250]小朋友和二叉樹 NTT多項式求逆+多項式開根

     
 
							
							
							Description

我們的小朋友很喜歡電腦科學，而且尤其喜歡二叉樹。 
考慮一個含有n個互異正整數的序列c[1],c[2],…,c[n]。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c[1],c[2],…,c[n]}中，我們的小朋友就會將其稱作 



  
 

    


    
    
bzoj 3456 城市規劃——分治FFT

     
 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 
設 dp[ i ] 表示 i 個點時連通的方案數。 
考慮算補集：連通的方案數 == 隨便連方案數 - 不連通方案數 
不連通方案數就和很久之前做過的“地震後的幻想鄉”一樣，列舉一個連通的點集， 



  
 

    


    
    
bzoj 3456 城市規劃

     
 
							
							
							就是直接EGF求ln即可。
EGF參見這篇部落格
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v. 



  
 

    


    
    
bzoj3625(NTT+多項式求逆+多項式開根）

     
 
							
							
							這題是我搜NTT搜到的，當時就看到“多項式開根”這樣的標題，於是找到了L-leader的部落格，補了下冪級數的東西，用兩節數學課學會了。

題面

我再看題解，好像都是教我怎麼開方，求逆的，然後又拖了幾天。終於昨晚睡不著，突然就想到了。。。

先介紹一下生成函式 



  
 

    


    
    
bzoj 4555:[Tjoi2016&Heoi2016]求和 多項式求逆

     
 
								
								            
						
                
       如果沒有2^j和j!，那麼題目就是求Σ(i=0,n)Bi（Bi表示第i個貝爾數），而Bi=Σ(j=0,i)S(i,j)。
       考慮第二類斯特林數的含義為將i個不同的數分成j個集 



  
 

    


    
    
Luogu5205 【模板】多項式開根（NTT+多項式求逆）

     
 get   def   ostream   open   clas   lld   https   數組   %d   　　https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利！
　　寫NTT把i<<=1寫成了i<<=2，又調了一年。發現 



  
 

    


    
    
luoguP4512 【模板】多項式除法 NTT+多項式求逆+多項式除法

     
 swa   define   space   wap   mod   inpu   eve   urn   --   Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300000 
#define ll long long 
#define MOD 



  
 

    


    
    
BZOJ3456: 城市規劃 多項式求逆

     
 sca   如果   數據   fpm   void   its   bzoj3456   limit   set   
3456: 城市規劃
Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 798  Solved: 451[Submit][Status][Di 



  
 

    


    
    
【BZOJ】4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 排列組合+多項式求逆 或 斯特林數+NTT

     
 oid   int   lan   ret   多項式   algo   com   題意   orm   【題意】給定n，求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!，n<=10^5。
【算法】生成函數+排列組合+多項式求逆
【題解】參考： [BZOJ4555][Tjoi2016&H 



  
 

    


    
    
[BZOJ3456]城市規劃(生成函數+多項式求逆+多項式求ln)

     
 n)   100%   存在   d+   ont   inner   tar   現在   一行   


城市規劃
時間限制：40s      空間限制：256MB








題目描述
 剛剛解決完電力網絡的問題, 阿貍又被領導的任務給難住了.
 剛才說過, 阿貍的國家 



  
 

    


    
    
bzoj3456: 城市規劃 生成函式 多項式求逆 多項式求ln

     
  
 
  
  
 bzoj3456: 城市規劃 
 題目傳送門 
 分析 
 方法1：算二次法 
 考慮一張
     
      
       
        
         n
        
       
       
        n
       
      
     n點 



  
 

    


    
    
洛谷P4238 【模板】多項式求逆（NTT）

     
 tdi   stdout   style   show   include   main   -a   沒有   如果   傳送門
 
學習了一下大佬的->這裏
已知多項式$A(x)$，若存在$A(x)B(x)\equiv 1\pmod{x^n}$
則稱$B(x)$為$A(x)$在模$x^n$下 



  
 

    


    
    
【BZOJ3625】【CF438E】小朋友和二叉樹（生成函式，多項式求逆，多項式開根，NTT）

     
 
                Description

我們的小朋友很喜歡電腦科學，而且尤其喜歡二叉樹。
考慮一個含有n個互異正整數的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我們的小朋友就會將其稱作神犇的。 



  
 

    


    
    
【BZOJ3625】【CF438E】小朋友和二叉樹 NTT 生成函式 多項式開根 多項式求逆

     
 
							
							
							題目大意

　　考慮一個含有n個互異正整數的序列c1,c2,…,cn。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c1,c2,…,cn}中，我們的小朋友就會將其稱作神犇的。並且他認為，一棵帶點權的樹的權值，是其所有頂點權值的總和。 
　　給出一個整數