[BZOJ4784][Zjoi2017]仙人掌（樹形DP）
Address
洛谷P3687
BZOJ4784
UOJ#290
LOJ#2250
Solution
首先，如果原圖不是仙人掌，就直接輸出
。
否則對圖進行一遍 DFS ，找出所有的環並去掉，原圖變成森林。答案顯然是每棵樹的答案的乘積。
考慮到在如果在樹上的點對
之間連邊，就相當於把
到
的路徑上的所有邊標記為環邊。
但存在兩個問題：
（1）不能有重邊，也就是說如果樹上已經有邊
就不能連邊
。
（2）每一條邊不一定要全部被標記為環邊。
但撕烤後發現上面這兩個條件可以抵消。
也就是說，如果我們假設可以有重邊，那麼問題再次轉化成選出一些路徑集合
覆蓋樹上所有的邊。
我們可以開始愉快地樹形 DP 了！
表示覆蓋
的子樹內所有邊的方案數。
表示覆蓋
的所有子樹內所有邊，並選出一條端點為
的路徑向
的父親延伸的方案數。
表示將
個元素分到一些集合內，使得每個集合非空且大小不超過
的方案數。
表示將
個元素分到一些集合內，使得每個集合非空且大小不超過
，所有方案中大小為
的集合個數之和。
邊界：
的轉移：
的轉移：
的轉移也就是列舉
的子節點
，討論兩種情況（一為路徑
單獨存在，二為路徑
不單獨存在），然後需要把子節點分組，每個組大小不超過
，對於大小為
的組，在點
把來自兩條處於不同子樹的路徑連線成一條：
也差不多：
答案為所有森林的根的
之積。
Code
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Edge(u) for (int e = adj[u], v = go[e]; e; e = nxt[e], v = go[e])
#define Tree(u) for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) if ((v = go[e]) != fu)
using namespace std;
inline int read()
{
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 5e5 + 5, M = N << 2, ZZQ = 998244353;
int n, m, ecnt, nxt[M], adj[N], go[M], f[N], g[N], h[N], w[N], cnt[N],
dfn[N], T, d[N];
bool is, cut[M], vis[N];
void add_edge(int u, int v)
{
nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v;
nxt[++ecnt] = adj[v]; adj[v] = ecnt; go[ecnt] = u;
}
void dfs(int u, int fe)
{
dfn[u] = ++T;
cnt[u] = 0;
Edge(u)
{
if (e == (fe ^ 1)) continue;
if (!dfn[v]) dfs(v, e), cnt[u] += cnt[v];
else if (dfn[u] < dfn[v]) cnt[u]--;
else cnt[u]++;
}
if (u > 1 && !cnt[u]) cut[fe] = cut[fe ^ 1] = 1;
if (cnt[u] >= 2) is = 0;
}
int dp(int u, int fu)
{
d[u] = 0;
f[u] = 1; vis[u] = 1;
Tree(u)
{
if (!cut[e]) continue;
d[u]++;
dp(v, u);
f[u] = 1ll * f[u] * (f[v] + g[v]) % ZZQ;
}
g[u] = 1ll * f[u] * h[d[u]] % ZZQ;
f[u] = 1ll * f[u] * w[d[u]] % ZZQ;
return f[u];
}
void work()
{
int i, x, y, ans = 1;
n = read(); m = read();
ecnt = 1; T = 0;
For (i, 1, n) adj[i] = dfn[i] = 0, vis[i] = 0;
while (m--) x = read(), y = read(), add_edge(x, y);
For (i, 2, ecnt) cut[i] = 0;
is = 1;
dfs(1, 0);
if (!is) return (void) puts("0");
For (i, 1, n) if (!vis[i])
ans = 1ll * ans * dp(i, 0) % ZZQ;
printf("%d\n", ans)