導數章節中的題型和對應求解思路
阿新 • • 發佈：2018-11-10
題型一：求曲線$F(x，y)=0$或函式$y=f(x)$的切線
型別1：一曲線一直線的單切線形、
思路方法：若是在點處，利用點斜式寫出切線方程：$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$；若是過點處，則設切點$(x_0，y_0)$，然後利用方程組求切點，再代入計算切線即可。例1【2017全國卷1文科第14題高考真題】曲線$y=x^2+\frac{1}{x}$在點$(1，2)$處的切線方程是__________。
例2(過點處)：求曲線$C:y=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{4}{3}$經過點$P(2，4)$的切線方程；（$4x-y-4=0$或$x-y+2=0$）
其中斜率$k=f'(x)_{|x=1}=(2x-\cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1$，
切點是$(1，2)$，
故切線方程為$y-2=1(x-1)$，整理為$y=x+1$。
例2分析：設經過點$P(2，4)$的切線方程與曲線相切於點$P_0(x_0，y_0)$，則有
$\begin{cases}y_0=\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3}\\ k=f'(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end{cases}$
又因為點$P(2，4)$在切線方程上，則有$4-(\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0)$
整理得到，$x_0^3-3x_0^2+4=0$
$x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)$
$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)$
$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)$
$=(x_0+1)(x_0-2)^2=0$；
即$(x_0+1)(x_0-2)^2=0$，解得$x_0=-1$，或$x_0=2$
當$x_0=-1$時，切點為$(-1，1)$，$k_1=1$，切線方程為$x-y+2=0$；
當$x_0=2$時，切點為$(2，4)$，$k_2=4$，切線方程為$4x-y-4=0$；
注意：常用的變形方法有試商法、分組分解法、多項式除法；
型別2：兩曲線一直線的公切線型、
思路方法：轉化為一曲線和一直線型；或者利用同一法求解
(2017•濰坊模擬) 若存在過點$(1，0)$的直線與曲線$y＝x^3$和$y＝ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$都相切，則$a$等於【 】
A、$-1$或$-\cfrac{25}{64}$ $\hspace{2cm}$ B、$-1$或$-\cfrac{21}{4}$ $\hspace{2cm}$
C、$-\cfrac{7}{4}$或$-\cfrac{25}{64}$ $\hspace{2cm}$ D、 $-\cfrac{7}{4}$或$7$
分析：本題目屬於公切線問題，可以先求得過點處的與$y=x^3$相切的直線，然後聯立直線和拋物線(二次函式)，利用$\Delta=0$來解決。
設過點$(1，0)$的直線與曲線$y＝x^3$相切於點$(x_0，y_0)$，由$f'(x)=3x^2$可得，
$\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2 \\y_0=x_0^3 \\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end{cases}$，又點$(1，0)$在切線上，故有$0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)$，
解得$x_0=0$或$x_0=\cfrac{3}{2}$；
當$x_0=0$時，$y_0=0$，即切點是$(0，0)$，斜率$k=0$，故切線方程為$y=0$，
與曲線$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2+\cfrac{15}{4}x-9=0$，
利用$\Delta=(\cfrac{15}{4})^2+4\times 9a=0$，解得$a=-\cfrac{25}{64}$；
當$x_0=\cfrac{3}{2}$時，$y_0=\cfrac{27}{8}$，即切點是$(\cfrac{3}{2}，\cfrac{27}{8})$，斜率$k=\cfrac{27}{4}$，
故切線方程為$y-\cfrac{27}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})$，
與曲線$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2-3x-\cfrac{9}{4}=0$，
利用$\Delta=(-3)^2-4\times a\times(-\cfrac{9}{4})=0$，解得$a=-1$；
綜上，$a=-1$或$-\cfrac{25}{64}$，故選A。
反思總結：直線與三次曲線的相切問題，我們用導數解決；
直線與二次曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的相切問題，我們常用$\Delta=0$來解決。