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Hdu3057（劃分類DP+基礎斜率優化）

阿新 • • 發佈：2018-11-11

題目大意

將 a [ 1.. n ] a[1..n] 劃分成若干個區間，每段區間 [

i , j ] [i , j] 的代價為 ( c [
i ] + c [ i + 1 ] +
c [ i + 2 ] + … + c [ j ] ) 2 + m (c[i] + c[i + 1] + c[i + 2] + … + c[j]) ^ 2 + m 。其中 m m 為常數。
求最小的總代價和。
a [ i ] > 0 a[i] > 0
n ≥ 5 ∗ 1 0 4 n ≥ 5 * 10 ^ 4

思路

首先，這是個很明顯的劃分類 D P DP 。
直接上狀態： f [ i ] f[i] 表示前i個數的最小代價。
易得 f [ i ] = m i n f [ j ] + ( s [ i ] − s [ j ] ) 2 + m f[i] = min{f[j] + (s[i] - s[j]) ^ 2 + m}
初值： f [ 0 ] = 0 f[0]=0
終值： f [ n ] f[n]

-----------華------------麗------------麗------------的------------分------------割------------線-----------

然後，我們發現，這是個非常經典的 1 D / 1 D 1D/1D 動態規劃
顯然是無法通過 5 ∗ 1 0 4 5*10^4 級別的資料。
考慮優化，對於一道一維狀態的 D P DP 題，優化方向只有一個——轉移。
如何減少重複或不必要的列舉呢？
設 1 < j 1 < j 2 < i 1 < j_1 < j_2 < i
則對於 i i 的決策， j 2 j_2 比 j 1 j_1 優等價於滿足
f [ j 2 ] + ( s [ i ] − s [ j 2 ] ) 2 + m < f [ j 1 ] + ( s [ i ] − s [ j 1 ] ) 2 + m f[j2] + (s[i] - s[j2]) ^ 2 + m < f[j1] + (s[i] - s[j1]) ^ 2 + m
簡單的開啟並整理過後就得到了
( f [ j 2 ] − f [ j 1 ] ) + ( s [ j 2 ] 2 − s [ j 1 ] 2 ) (f[j_2]-f[j_1]) + (s[j_2] ^ 2 - s[j_1] ^ 2)
--------------------------------------------------- < s [ i ] < s[i]
( s [ j 2 ] − s [ j 1 ] ) ∗ 2 (s[j2] - s[j1]) * 2
設不等式左邊 = g ( j 1 , j 2 ) =g(j_1 , j_2)
先考慮用代數
若 g ( j 1 , j 2 ) > g ( j 2 , j 3 ) g(j_1 , j_2) > g(j_2 , j_3) 則由上面的推論可以知道對於i的決策， j 1 j_1 比 j 2 j_2 優， j 3 j_3 比 j 2 j_2 優，即 j 2 j_2 永遠不可能成為最優的轉移
又因為 a [ i ] > 0 a[i] > 0 ，即 s [ i ] < s [ i + 1 ] < … < s [ n ] s[i] < s[i + 1] < … < s[n]
則 j 2 j_2 永遠不可能成為今後的最優轉移
因此，我們可以通過不轉移形如 g ( j 1 , j 2 ) > g ( j 2 , j 3 ) g(j_1,j_2)>g(j_2,j_3) 的 j 2 j_2

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