對於一個 正整數，如果它和除了它自身以外的所有正因子之和相等，我們稱它為“完美數”。
給定一個 正整數 n， 如果他是完美數，返回 True，否則返回 False。
注意：輸入的數字 n 不會超過 100,000,000. (1e8)
例：輸入: 28
輸出: True
解釋: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

這是一道有關完美數的題目。完美數的定義如上所說，如果一個數n的因數和 (包括n) 記作 f(n)，我們把令 f(n) = 2n的數稱為完美數，令 f(n) < 2n 的數稱為虧數，令 f(n) > 2n 的數稱為盈數。

思路

簡單的，我們可以得出 1不是完美數。對於 n>1 的情況，考慮一對對的因數相加，例如，對28有[1,28],[2,14],[4,7]，因為1必定是n的因子，可以提前加上，那麼尋找其他因子的範圍縮小至[2, sqrt(n)]。
遍歷這一區間，如果數i可以被n整除，那麼我們把 i 和 n/i 都加上，當 n 是完全平方數時，相同的因子加了兩次（即i與 n/i = i），所以要減掉一次當前的 i。還有就是在遍歷的過程中如果累積和sum大於n了，直接返回false即可。程式碼如下。

程式碼

class Solution {
public:
    bool checkPerfectNumber(int num) {
        if (num == 1) return false;
        int sum = 1;
        for (int i = 2; i * i <= num; ++i) {
            if (num % i == 0) 
                sum += (i + num / i);
            if (i * i == num)
                sum -= i;
            if (sum > num) 
                return false;
        }
        return sum == num;
    }
};
 

歷史

事實上，完美數的尋找已經頗有歷史，從古希臘的畢達哥拉斯到尤拉，再到現代的計算機，不少數學家都在不停地尋找完美數及推測它的性質。由相關數學知識可得，完美數的數量分佈極其零散，前七個完美數為6、28、496、8,128、33,550,336、8,589,869,056、137,438,691,328。
對於此題1e8的範圍內，僅需判斷前五個完美數即可。程式碼如下。

程式碼

class Solution {
public:
    bool checkPerfectNumber(int num) {
        return num==6 || num==28 || num==496 || num==8128 || num==33550336;
    }
};