Given a positive integer num, write a function which returns True if num is a perfect square else False.

Note: Do not use any built-in library function such as sqrt.

Example 1:

Input: 16
Returns: True

Example 2:

Input: 14
Returns: False

Credits:
Special thanks to @elmirap for adding this problem and creating all test cases.

這道題給了我們一個數，讓我們判斷其是否為完全平方數，那麼顯而易見的是，肯定不能使用brute force，這樣太不高效了，那麼最小是能以指數的速度來縮小範圍，那麼我最先想出的方法是這樣的，比如一個數字49，我們先對其除以2，得到24，發現24的平方大於49，那麼再對24除以2，得到12，發現12的平方還是大於49，再對12除以2，得到6，發現6的平方小於49，於是遍歷6到12中的所有數，看有沒有平方等於49的，有就返回true，沒有就返回false，參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int
 
 num) {
        if (num == 1) return true;
        long x = num / 2, t = x * x;
        while (t > num) {
            x /= 2;
            t = x * x;
        }
        for (int i = x; i <= 2 * x; ++i) {
            if (i * i == num) return true;
        }
        return false;
    }
}; 
 

下面這種方法也比較高效，從1搜尋到sqrt(num)，看有沒有平方正好等於num的數：

解法二：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        for (int i = 1; i <= num / i; ++i) {
            if (i * i == num) return true;
        }
        return false;
    }
}; 

我們也可以使用二分查詢法來做，要查詢的數為mid*mid，參見程式碼如下：

解法三：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        long left = 0, right = num;
        while (left <= right) {
            long mid = left + (right - left) / 2, t = mid * mid;
            if (t == num) return true;
            else if (t < num) left = mid + 1;
            else right = mid - 1;
        }
        return false;
    }
};

下面這種方法就是純數學解法了，利用到了這樣一條性質，完全平方數是一系列奇數之和，例如：

1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
....
1+3+...+(2n-1) = (2n-1 + 1)n/2 = n*n

這裡就不做證明了，我也不會證明，知道了這條性質，就可以利用其來解題了，時間複雜度為O(sqrt(n))。

解法四：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        int i = 1;
        while (num > 0) {
            num -= i;
            i += 2;
        }
        return num == 0;
    }
};

下面這種方法是第一種方法的類似方法，更加精簡了，時間複雜度為O(lgn)：

解法五：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        long x = num;
        while (x * x > num) {
            x = (x + num / x) / 2;
        }
        return x * x == num;
    }
};

這道題其實還有O(1)的解法，這你敢信？簡直太喪心病狂了，詳情請參見論壇上的這個帖子。

類似題目：

參考資料：