tle com nbsp erl 方便 衡量 好的 出現 方差

　　

數學期望的定義

在概率論和統計學中，數學期望是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特征之一。

離散型隨機變量X的取值為 ， 為X對應取值的概率，可理解為數據 出現的頻率 ，則：

　　　　　　 　　　 設連續性隨機變量X的概率密度函數為f(x)，若積分絕對收斂，則稱積分的值 為隨機變量的數學期望，記為E(X)。 　　　　　　

數學期望是由隨機變量的分布完全決定的，故我們常說某分布F的期望是多少，或某密度f的密度是多少。

數學期望的性質

數學期望之所以在理論和應用上都極為重要，除了它本身的含義(作為變量平均取值的刻畫)外，還有 一個原因，即它具有一些良好的性質,這些性質使得它在數學上很方便

。

設C為一個常數，X和Y是兩個隨機變量。以下是數學期望的重要性質： 1. 2. 3. 4.當X和Y相互獨立時， 性質3和性質4可以推到到任意有限個相互獨立的隨機變量之和或之積的情況。

隨機變量函數的期望

若隨機變量Y符合函數

，且

絕對收斂，則有：

　　

該定理的意義在於：我們求 時不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X的分布律或概率密度即可。

上述定理還可以推廣到兩個或以上隨機變量的函數情況。設Z是隨機變量X、Y的函數 （g是連續函數），Z是一個一維隨機變量，二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 ，則有： 　　　

方差的定義

方差是在概率論和統計方差衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望之間的偏離程度。統計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。 設X為隨機變量，分布F，則： 　　Var(X)=E(X-EX)²

暫記EX=a，則： 　　Var(X)=E(X²-2aX+a²)=E(X²)-E(X)² 方差的這個形式在計算上往往較為方便

方差的性質

方差之所以成為刻畫散布度的最重要的數字特征，原因之一就是它具有一些優良的數學性質：

1、設C是常數，則D（C）=0 2、設X是隨機變量，C是常數，則有 4、D（X）=0的充分必要條件是X以概率1取常數E（X），即 （當且僅當X取常數值E（X）時的概率為1時，D（X）=0。） 註：不能得出X恒等於常數，當x是連續的時候X可以在任意有限個點取不等於常數c的值。

矩

應用：偏度系數、峰度系數

數學期望、方差與矩