KMP演算法詳解及各種應用

阿新 • • 發佈：2018-11-15

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KMP演算法詳解：
KMP演算法之所以叫做KMP演算法是因為這個演算法是由三個人共同提出來的，就取三個人名字的首字母作為該演算法的名字。其實KMP演算法與BF演算法的區別就在於KMP演算法巧妙的消除了指標i的回溯問題，只需確定下次匹配j的位置即可，使得問題的複雜度由O(mn)下降到O(m+n)。
在KMP演算法中，為了確定在匹配不成功時，下次匹配時j的位置，引入了next[]陣列，next[j]的值表示P[0...j-1]中最長字尾的長度等於相同字元序列的字首。
對於next[]陣列的定義如下：
1) next[j]=-1 j=0
2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
3) next[j]=0 其他
如：
P      a    b   a    b   a
j       0   1    2   3   4
next -1 0    0   1   2
即next[j]=k>0時，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
因此KMP演算法的思想就是：在匹配過程稱，若發生不匹配的情況，如果next[j]>=0，則目標串的指標i不變，將模式串的指標j移動到next[j]的位置繼續進行匹配；若next[j]=-1，則將i右移1位，並將j置0，繼續進行比較。
程式碼實現如下：

int KMPMatch(char *s,char *p){    int next[100];    int i , j;    i = 0;    j = 0;    getNext(p , next);    while(i < strlen(s))    {        if(j == -1 || s[i] == p[j])        {            i++;            j++;        }        else 
        {            j = next[j];       //消除了指標i的回溯        }        if(j == strlen(p))            return 
 i - strlen(p);    }    return -1;}

因此KMP演算法的關鍵在於求算next[]陣列的值，即求算模式串每個位置處的最長字尾與字首相同的長度，而求算next[]陣列的值有兩種思路，第一種思路是用遞推的思想去求算，還有一種就是直接去求解。
1、按照遞推的思想：
   根據定義next[0]=-1，假設next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]
   1)若P[j]==P[k]，則有P[0..k]==P[j-k,j]，很顯然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;
   2)若P[j]!=P[k]，則可以把其看做模式匹配的問題，即匹配失敗的時候，k值如何移動，顯然k=next[k]。
   因此可以這樣去實現：

void getNext(char *p,int *next){    int j,k;    next[0] = -1;    j = 0;    k = -1;    while(j < strlen(p) - 1)    {        if(k == -1 || p[j] == p[k])    //匹配的情況下,p[j]==p[k]        {            j++;            k++;            next[j] = k;        }        else                   //p[j]!=p[k]            k = next[k];    }}

2、直接求解方法

void getNext(char *p,int *next){    int i , j , temp;    for(i = 0 ; i < strlen(p) ; ++i)    {        if(i == 0)        {            next[i] = -1;     //next[0]=-1        }        else if(i == 1)        {            next[i] = 0;      //next[1]=0        }        else        {            temp = i - 1;            for(j = temp ; j > 0 ; --j)            {                if( equals(p , i , j) )                {                    next[i] = j;   //找到最大的k值                    break;                }            }            if(j == 0)                next[i] = 0;        }    }} bool equals(char *p,int i,int j)     //判斷p[0...j-1]與p[i-j...i-1]是否相等 {    int k = 0;    int s = i - j;    for( ; k <= j - 1 && s <= i - 1 ; k++ , s++)    {        if(p[k] != p[s])            return false;    }    return true;}

http://poj.org/problem?id=2406

給定一個字串，問最多是多少個相同子串不重疊連線構成。

KMP的next陣列應用。這裡主要是如何判斷是否有這樣的子串，和子串的個數。

若為abababa，顯然除其本身外，沒有子串滿足條件。而分析其next陣列，next[7] = 5，next[5] = 3，next[3] = 1，即str[2..7]可由ba子串連線構成，那怎麼否定這樣的情況呢？很簡單，若該子串滿足條件，則len%sublen必為0。sunlen可由上面的分析得到為len-next[len]。

因為子串是首尾相接，len/sublen即為substr的個數。

若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;char pattern[1000002];int next[1000002];/*kmp演算法，需要首先求出模式串的next函式值next[j] = k,說明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是說k為其前面相等串的長度*/void get_nextval(const char* pattern){ int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') {  if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )     //pattern[i]表示字尾的單個字元，pattern[j]表示字首的單個字元  {   ++i;   ++j;   if(pattern[i] != pattern[j])    next[i]=j;   else    next[i]=next[j];  }  else   j=next[j];    //若j值不相同，則j值回溯 }}//get_nextvalint main(void){ int len; while(scanf("%s",pattern)!=EOF) {  if(pattern[0]=='.')   break;  len=strlen(pattern);  get_nextval(pattern);       if(len%(len-next[len])==0)   printf("%d\n",len/(len-next[len]));  else   printf("1\n");    } return 0;}

http://poj.org/problem?id=1961

大意：
   定義字串A,若A最多由n個相同字串s連線而成，則A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2
   "ababa" = "ababa"^1

給出一個字串A，求該字串的所有字首中有多少個字首SA= s^n（n>1）
輸出符合條件的字首長度及其對應的n

如aaa
字首aa的長度為2,由2個'a'組成
字首aaa的長度為3，由3個"a"組成

分析：KMP
若某一長度L的字首符合上訴條件，則
1.next[L]!=0(next[L]=0時字串為原串，不符合條件)
2.L%(L-next[L])==0（此時字串的長度為L/next[L]）

對於2：有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]
        =》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];
  假設S = L-next[L]-1;則有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],對於所有i%s==0,均有s[i]=s[0]
  同理，str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....
        str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....
  綜上，若L%S==0,則可得L為str[0]...str[s-1]的相同字串組成，
  總長度為L,其中字串長度SL = s-0+1=L-next[L],迴圈次數為L/SL
   故對於所有大於1的字首，只要其符合上述條件，即為答案之一

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;char pattern[1000002];int next[1000002];/*kmp演算法，需要首先求出模式串的next函式值next[j] = k,說明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是說k為其前面相等串的長度*/void get_nextval(const char* pattern){ int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') {  if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )  {   ++i;   ++j;   next[i]=j;  }  else   j=next[j]; }}//get_nextvalint main(void){ int i,len,n,j=1; while(scanf("%d",&n)!=EOF) {  if(!n)   break;  scanf("%s",pattern);  len=strlen(pattern);  get_nextval(pattern);   printf("Test case #%d\n",j++);  for(i=2;i<=len;i++)  {   if(i%(i-next[i])==0 && i/(i-next[i])>1)    printf("%d %d\n",i,i/(i-next[i]));  }  printf("\n");    } return 0;}

http://poj.org/problem?id=2752
大意：
給出一個字串A,求A有多少個字首同時也是字尾，從小到大輸出這些字首的長度。

分析：KMP
對於長度為len的字串，由next的定義知：
A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此時A[0]A[1]...A[next[len]-1]為一個符合條件的字首
有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一個符合條件的字首
故從len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某個next[]為0均為合法答案，注意當首位單詞相同時，也為答案。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>using namespace std;char pattern[400002];int next[400002];/*kmp演算法，需要首先求出模式串的next函式值next[j] = k,說明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是說k為其前面相等串的長度*/void get_nextval(const char* pattern){ int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') {  if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )  {   ++i;   ++j;   next[i]=j;  }  else   j=next[j]; }}//get_nextvalint main(void){ int i,len,n; vector<int>ans; while(scanf("%s",pattern)!=EOF) {  ans.clear();  len=strlen(pattern);  get_nextval(pattern);  n=len;  while(n)  {   ans.push_back(n);   n=next[n];  }  if(pattern[0]==pattern[n-1])   //首部、尾部字元相同   ans.push_back(1);  i=ans.size()-1;  for(;i>0;i--)   printf("%d ",ans[i]);  printf("%d\n",ans[0]); } return 0;}

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你好！這是你第一次使用 **Markdown編輯器** 所展示的歡迎頁。如果你想學習如何使用Markdown編輯器, 可以仔細閱讀這篇文章，瞭解一下Markdown的基本語法知識。

新的改變

我們對Markdown編輯器進行了一些功能拓展與語法支援，除了標準的Markdown編輯器功能，我們增加了如下幾點新功能，幫助你用它寫部落格：

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增加了 焦點寫作模式、預覽模式、簡潔寫作模式、左右區域同步滾輪設定 等功能，功能按鈕位於編輯區域與預覽區域中間；
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功能快捷鍵

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合理的建立標題，有助於目錄的生成

直接輸入1次#，並按下space後，將生成1級標題。
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以此類推，我們支援6級標題。有助於使用TOC語法後生成一個完美的目錄。

如何改變文字的樣式

強調文字 強調文字

加粗文字 加粗文字

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~~刪除文字~~

引用文字

H₂O is是液體。

2¹⁰ 運算結果是 1024.

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連結: link.

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帶尺寸的圖片:

當然，我們為了讓使用者更加便捷，我們增加了圖片拖拽功能。

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// An highlighted block var foo = 'bar';

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專案
- 專案
  - 專案

專案1
專案2
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完成任務

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一個簡單的表格是這麼建立的：

專案	Value
電腦	$1600
手機	$12
導管	$1

設定內容居中、居左、居右

使用:---------:居中
使用:----------居左
使用----------:居右

第一列	第二列	第三列
第一列文字居中	第二列文字居右	第三列文字居左

SmartyPants

SmartyPants將ASCII標點字元轉換為“智慧”印刷標點HTML實體。例如：

TYPE	ASCII	HTML
Single backticks	`'Isn't this fun?'`	‘Isn’t this fun?’
Quotes	`"Isn't this fun?"`	“Isn’t this fun?”
Dashes	`-- is en-dash, --- is em-dash`	– is en-dash, — is em-dash

建立一個自定義列表

Markdown: Text-to- HTML conversion tool
Authors: John; Luke

如何建立一個註腳

一個具有註腳的文字。²

註釋也是必不可少的

Markdown將文字轉換為 HTML。

KaTeX數學公式

您可以使用渲染LaTeX數學表示式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N$ 是通過尤拉積分

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$

你可以找到更多關於的資訊 LaTeX 數學表示式here.

新的甘特圖功能，豐富你的文章

gantt
        dateFormat  YYYY-MM-DD
        title Adding GANTT diagram functionality to mermaid
        section 現有任務
        已完成               :done,    des1, 2014-01-06,2014-01-08
        進行中               :active,  des2, 2014-01-09, 3d
        計劃一               :         des3, after des2, 5d
        計劃二               :         des4, after des3, 5d

關於 甘特圖 語法，參考這兒,

UML 圖表

可以使用UML圖表進行渲染。 Mermaid. 例如下面產生的一個序列圖：:

這將產生一個流程圖。:

關於 Mermaid 語法，參考這兒,

FLowchart流程圖

我們依舊會支援flowchart的流程圖：

關於 Flowchart流程圖 語法，參考這兒.

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mermaid語法說明 ↩︎
註腳的解釋 ↩︎