狀態向量的線性變換

一.狀態向量線性變換的基本原理

我們的知道，建立系統的狀態空間表示式具有非唯一性，主要原因是選取不同的狀態向量就會有不同的狀態空間表示式。基於此，提出了狀態向量的線性變換，其基本原理如下：

設給定系統：

$\stackrel{\dot{}}{\mathbf{x}}=\mathbf{A}$

二.狀態向量線性變換的一般實現

為簡化狀態空間表示式的計算和量化系統的效能，我們希望控制矩陣（A）儘量簡單。基於此，提出將狀態空間表示式變換為約旦標準型：

即將原系統：

$\bf \dot x= Ax+Bu$ $\bf y = Cx+Du$

變換為：

$\bf \dot z= Jz+T^{-1} Bu$ $\bf y = CTx+Du$

其中（ $\bf A$無重根）：

$J = T^{-1} AT = {\left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0&\cdots& 0\\ 0 & \lambda_2& 0&\cdots& 0\\ 0 & 0& \lambda_3&\cdots\\ \cdots& \cdots& \cdots&\cdots&\cdots\\ 0 & 0 & 0&\cdots&\lambda_n \end{array} \right ]}$

$\lambda_i$為控制矩陣 $\bf A$的特徵值， $\bf T$為特殊值所對應的特徵向量組成的矩陣。
至此，一般形式的狀態空間表示式就可以化為比較簡單的約旦標準型了。

參考文獻

《現代控制理論》 --劉豹，唐萬生主編。–03版。–北京：機械工業出版社，2015.11