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                二分查詢演算法雖然簡單，但面試中也比較常見，經常用來在有序的數列查詢某個特定的位置。在LeetCode用到此演算法的主要題目有：
Search Insert Position

Search for a Range
Sqrt(x)
Search a 2D Matrix
Search in Rotated Sorted Array
Search in Rotated Sorted Array II

這類題目基本可以分為如下四種題型：
1.  Search Insert Position 和 Search for a Range 是考察二分查詢的基本用法。基本思路是每次取中間，如果等於目標即返回，否則根據大小關係切去一半，因此時間複雜度是O(logn)，空間複雜度O(1)。以 Search Insert Position 為例，其關鍵程式碼寫法如下：

    int l = 0;    int r = A.length-1;    while(l<=r)    {        int mid = (l+r)/2;        if(A[mid]==target)            return
 
 mid;        if(A[mid]<target)            l = mid+1;        else            r = mid-1;    }    return l;

這樣當迴圈停下來時，如果不是正好找到target，l指向的元素恰好大於target，r指向的元素恰好小於target，這裡l和r可能越界，不過如果越界就說明大於（小於）target並且是最大（最小）。 Search for a Range 這道題能更好的解釋這一點。其思路是先用二分查詢找到其中一個target，然後再往左右找到target的邊緣。我們主要看找邊緣（往後找）的程式碼：

    int newL = m;    int newR = A.length-1;    while(newL<=newR)    {        int newM=(newL+newR)/2;        if(A[newM]==target)        {            newL = newM+1;        }        else        {            newR = newM-1;        }                }    res[1]=newR;

我們的目標是在後面找到target的右邊界，因為左邊界已經等於target，所以判斷條件是相等則向右看，大於則向左看，根據上面說的，迴圈停下來時，l指向的元素應該恰好大於target，r指向的元素應該等於target，所以此時的r正是我們想要的。向前找邊緣也同理。

2.  Sqrt(x)是數值處理的題目，但同時也可以用二分查詢的思想來解決。因為我們知道結果的範圍，取定左界和右界，然後每次砍掉不滿足條件的一半，直到左界和右界相遇。演算法的時間複雜度是O(logx)，空間複雜度是O(1)。這裡同樣是考察二分查詢的基本用法。程式碼如下：

public int sqrt(int x) {    if(x<0) return -1;    if(x==0) return 0;    int l=1;    int r=x/2+1;    while(l<=r)    {        int m = (l+r)/2;        if(m<=x/m && x/(m+1)<m+1)            return m;        if(x/m<m)        {            r = m-1;        }        else        {            l = m+1;        }    }    return 0;}

這裡要注意，這裡判斷相等的條件不是簡單的 m == x/m, 而是 m<=x/m && x/(m+1)<m+1, 這是因為輸出是整型，sqrt(14)=3 但 3 != 14/3. 所以我們需要一個範圍框住結果。另外根據二分查詢演算法的特性，如果不能正好m==x/m停下，那麼r指向的數字將正好是結果取整的值。所以我們也可以這樣寫：

public int sqrt(int x) {    if(x<0) return -1;    if(x==0) return 0;    int l=1;    int r=x/2+1;    while(l<=r)    {        int m = (l+r)/2;        if(m==x/m )            return m;        if(x/m<m)        {            r = m-1;        }        else        {            l = m+1;        }    }    return r;}

3.  Search a 2D Matrix是二分查詢演算法的多維應用，通過觀察不難發現，輸入的矩陣行內有序並且行間有序，所以查詢只需要先按行查詢，定位出在哪一行之後再進行列查詢即可，兩次二分查詢，時間複雜度是O(logm+logn)，空間上只需兩個輔助變數，因而是O(1)，這裡不再贅述。

4.  Search in Rotated Sorted Array和 Search in Rotated Sorted Array II算是二分查詢演算法的一個變體。在 Search in Rotated Sorted Array中，乍一看感覺陣列已經不是有序的了，也就無法用二分查詢演算法，但仔細分析一下會發現，因為只rotate了一次，如果二分一下，總有一半是有序的，而且和另一半無區間重疊，我們只需要檢查有序的一半的前後兩個元素就可以確定target可能在哪一半。具體來說，假設陣列是A，每次左邊緣為l，右邊緣為r，還有中間位置是m。在每次迭代中，分三種情況：
（1）如果target==A[m]，那麼m就是我們要的結果，直接返回；
（2）如果A[m]<A[r]，那麼說明從m到r一定是有序的（沒有受到rotate的影響），那麼我們只需要判斷target是不是在m到r之間，如果是則把左邊緣移到m+1，否則就target在另一半，即把右邊緣移到m-1。
（3）如果A[m]>=A[r]，那麼說明從l到m一定是有序的，同樣只需要判斷target是否在這個範圍內，相應的移動邊緣即可。
根據以上方法，每次我們都可以切掉一半的資料，所以演算法的時間複雜度是O(logn)，空間複雜度是O(1)。 Search in Rotated Sorted Array II中array有重複元素，按照剛剛的思路，二分之後雖然一半是有序的，但我們會遇到中間和邊緣相等的情況，我們就丟失了哪邊有序的資訊，因為哪邊都有可能是有序的結果。假設原陣列是{1,2,3,3,3,3,3}，那麼旋轉之後有可能是{3,3,3,3,3,1,2}，或者{3,1,2,3,3,3,3}，這樣的我們判斷左邊緣和中心的時候都是3，如果我們要尋找1或者2，我們並不知道應該跳向哪一半。解決的辦法只能是對邊緣移動一步，直到邊緣和中間不在相等或者相遇，這就導致了會有不能切去一半的可能。所以最壞情況（比如全部都是一個元素，或者只有一個元素不同於其他元素，而他就在最後一個）就會出現每次移動一步，總共是n步，演算法的時間複雜度變成O(n)。

總體來說，二分查詢演算法理解起來並不算難，但在實際面試的過程中可能會出現各種變體，如何靈活的運用才是制勝的關鍵。我們要抓住“有序”的特點，一旦發現輸入有“有序”的特點，我們就可以考慮是否可以運用二分查詢演算法來解決該問題。            

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