題目大意：

輸入一棵n個點的樹，每個節點是黑色或白色，現在希望選出m個黑點，使得這m個黑點之間的距離的最大值最小，輸出最小距離。

思路：

我先想到了二分距離,要從[0，n-1]開始(左端點不能從1開始，更不能從m-1開始，這裏我wa了9次）。假設二分出的距離是mid，需要分兩種情況：

1. mid是偶數，以每一個點為中心，向外找到dis小於等於mid/2的所有點，每個中心統計一次黑點數目，若最大的一次數目大於等於m，就可以縮小距離。
2. mid是奇數，就是把以每一個點為中心改為每一條邊為中心，中心邊連的兩個點dis都為0，其余操作一樣。

正確性證明：

• 二分的正確性：假設有一種m個點最大距離最小值為k的答案，同一圖中，現要求m‘個點對應的k‘；當m‘<m時，顯然k可以保證選夠m‘個點，所以一定有k‘<=k; 當m‘>m時，顯然k-1不能保證選夠m‘個點，所以一定有k‘>=k。
• 檢查時的正確性：就是證明每種最長路為mid的情況不是屬於上述情況1，就是屬於上述情況2。即證明每一個直徑為偶數的樹都以一個點為中心，每一個直徑為奇數的樹都以一條邊的兩個點為中心。（這裏的中心指的是任意一個樹上的點到至少一個中心點的距離都不超過直徑的一半。）

　　a.每一個直徑為偶數的樹都以一個點為中心。

　　假設設一棵樹T有n個點，直徑為2*m，且任意的點i都存在一個j使得i,j的距離大於m。若有一個點k使得兩個點j₁，j₂到k的距離都大於m，則j₁,j₂的距離就大於2*m，矛盾。若每一個點都使得僅有一個點到其距離大於m，則取這　　樣的兩對點i,j和k,l，顯然樹上還有聯通這對點的一條路徑，則四條路徑(i,l),(i,k),(j,k),(j,l)中一定有一條要經過邊(i,j)和(k,l),這樣它們的距離就大於2*m了，矛盾。

所以存在一個中心點。

　　b.每一個直徑為奇數的樹都以一條邊的兩個點為中心。

　　設一棵樹T有n個點，直徑為2*m+1，找到一條直徑(x₁,x₂,...,x_m+1,x_m+2,...x_2*m+2)，將最中間的x_m+1,x_m+2合成一個點y，刪去邊(x_m+1,x_m+2),將與x_m+1,x_m+2連的邊連向y，即證明所有點到y的距離都不大於m。假設存在點k使dis(k,y)大於m，不妨設k原來與x_m+2連，則k到x₁的距離為dis(x₁,x_m+2)+dis(k,y),大於2*m+1，矛盾。

所以樹T以x_m+1,x_m+2為中心。

  1 #include<cstdio>
  2
 
 #include<cstring>
  3 #include<iostream>
  4 #include<algorithm>
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 int n,m,bianshu=0,cor[200],head[200];
  9 int que[2000],st,ed,cnt,used[200],dis[200],yy[200][3];
 10 struct node
 11 {
 12     int zhong,next;
 13     node()
 14     {
 15         zhong=0;
 16         next=0;
 17     }
 18 }bian[200*5];
 19 
 20 void comq(int x)
 21 {
 22     st++;
 23     used[x]=1;
 24     que[st]=x;
 25     return ;
 26 }
 27 
 28 void jiabian(int qi,int zh)
 29 {
 30     bianshu++;
 31     bian[bianshu].next=head[qi];
 32     bian[bianshu].zhong=zh;
 33     head[qi]=bianshu;
 34     return ;
 35 }
 36 
 37 bool check1(int x)
 38 {
 39     //printf("X=%d\n",x);
 40     int maxx=0;
 41     for(int i=1;i<=n;i++)
 42     {
 43         memset(used,0,sizeof(used));
 44         memset(que,0,sizeof(que));
 45         memset(dis,0,sizeof(dis));
 46         st=0;
 47         ed=0;
 48         cnt=0;
 49         comq(i);
 50         if(cor[i]==1)cnt++;
 51         dis[i]=0;
 52         while(st!=ed)
 53         {
 54             ed++;
 55             int dang=que[ed];
 56             if(dis[dang]>=(x/2))break;
 57             int k=head[dang];
 58             while(k)
 59             {
 60                 if(!used[bian[k].zhong])
 61                 {
 62                     if(cor[bian[k].zhong]==1)cnt++;
 63                     comq(bian[k].zhong);
 64                     dis[bian[k].zhong]=dis[dang]+1;
 65                 }
 66                 k=bian[k].next;
 67             }
 68         }
 69         maxx=max(cnt,maxx);
 70     }
 71     if(maxx>=m)return true;
 72     else return false;
 73 }
 74 
 75 bool check2(int x)
 76 {
 77     x--;
 78     int maxx=0;
 79     for(int i=1;i<n;i++)
 80     {
 81         memset(used,0,sizeof(used));
 82         memset(que,0,sizeof(que));
 83         memset(dis,0,sizeof(dis));
 84         st=0;
 85         ed=0;
 86         cnt=0;
 87         comq(yy[i][1]);
 88         if(cor[yy[i][1]]==1)cnt++;
 89         dis[yy[i][1]]=0;
 90         comq(yy[i][2]);
 91         if(cor[yy[i][2]]==1)cnt++;
 92         dis[yy[i][2]]=0;
 93         while(st!=ed)
 94         {
 95             ed++;
 96             int dang=que[ed];
 97             if(dis[dang]>=(x/2))break;
 98             int k=head[dang];
 99             while(k)
100             {
101                 if(!used[bian[k].zhong])
102                 {
103                     if(cor[bian[k].zhong]==1)cnt++;
104                     used[bian[k].zhong]=1;
105                     st++;
106                     que[st]=bian[k].zhong;
107                     dis[bian[k].zhong]=dis[dang]+1;
108                 }
109                 k=bian[k].next;
110             }
111         }
112         maxx=max(cnt,maxx);
113     }
114     if(maxx>=m)return true;
115     else return false;
116 }
117 
118 bool ok(int x)
119 {
120     if(x&1)return check2(x);
121     else return check1(x);
122 }
123 
124 int main()
125 {
126     scanf("%d%d",&n,&m);
127     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&cor[i]);
128     for(int i=1;i<n;i++)
129     {
130         int a,b;
131         scanf("%d%d",&a,&b);
132         yy[i][1]=a;
133         yy[i][2]=b;
134         jiabian(a,b);
135         jiabian(b,a);
136     }
137     if((m==1)||(n==1))
138     {
139         printf("0\n");
140         return 0;
141     }
142     int l=0;
143     int r=n;
144     while(l<r)
145     {
146         int mid=(l+r)>>1;
147         if(ok(mid))r=mid;
148         else l=mid+1;
149     }
150     printf("%d\n",r);
151     return 0;
152 }

Gym 101964C Tree