用加法器實現T型曲線的理論分析

//  2017年12月28日     建立 by cofin

T型加速曲線公式：如下所示：

Vt = v0+at                （1）

S = 1/2at2 + v0*t              （2）

    舉例，如果我們要在5MHz下產生一個1Khz的方波，那麼我們需要用5M/1K = 5000 來得到計數數值，然後用計數器設計，當計數到5000-1時即完成了傳送一個脈衝的任務，這樣的設計肯定需要用除法， 就算不會綜合成除法器，但是當我們的1K改成變數時，肯定會綜合出來除法器的，由此會佔用大量的資源，如果這種模組並列幾個的話，fpga的大量資源就會被浪費了。

    改進演算法：基於以上原因，我們提出了改進的演算法，對上式進行變換5M = 1K * x，這裡X的值很顯然是常量，然後我們接著變換，5Mhz = V0 * x，這樣，不同的V0就會對應不同的x值，現假設我不知道x的值，但是我已知V0的值，那麼我對V0進行累計，每進行一次累計，就和5Mhz做比較，當累加的數值大於或者等於5MHz時，此時去得到累加的次數，也就是x的值了。這樣的話，我設計一個基於V0的累計器就可以不用除法器了，從資源上來說，佔用加法器的位數會比較多，所佔加法器資源會增加，但是卻省略了除法器，這樣從一定程度上回節約很多資源，二來由於是大於等於式的設計，那麼必定存在誤差，當恰好等於5Mhz時，此時沒有誤差，當大於5Mhz時，必定會有誤差，此時可以減1來改變誤差。。。

    基於以上理論，我們討論如何進行T型加速。

    設現在執行的速度時Vw，則當前速度執行一步所需要數的脈衝：5Mhz / Vw，其值乘以1/5Mhz（在5Mhz時鐘下產生的）就是步進電機執行該速度的時間，而該值在公式中也就是一個脈衝，所以我們不用式（2），然後我們將上述式子進行變換，如下：

        Y MHz = Vw * X；

    其中Y和Vw已知，通過累加Vw（每個脈衝的上升沿來到之後），然後每次累計完畢都和Y比較，當大於等於Y時，也就說明一個脈衝傳送完畢了，其累加次數X就是要數多少下。

    同樣的速度的變化量怎麼得到呢？同樣的，我對式（1）進行變換，Vt = V0 + ∆V，其中∆V = aT，a已知，T等於什麼呢？T在該系統中是執行一步的時間，即∆V = a * (5Mhz/Vw ) * (1/5Mhz)，化簡一下，∆V = a * (1/Vw)；再次化簡∆V * Vw = a；解釋：只要對Vw進行計數，同時每計一次數就和a（加速度）進行比較，如果大於等於加速度，此時當前的計數累加值就是速度變化量∆V，也就是下次速度的變化量 ，誤差分析，當剛好等於時，速度的變化量就是標準正確值，當大於a時，存在微小的誤差。

    綜上所述，我們只要對Vw（當前的速度）進行一定的累加就可以得到位移的變化和速度的變化，但與其比較的值會帶來誤差，經過分析，提高時鐘頻率可以減小誤差，也就是說合理的提高一點時鐘頻率會影響電機的加減速執行。這樣做的優點：省資源，存在一定的誤差，也就是速度可能比實際設定的速度大一點，二來減速過程最終的速度可能和初速度不相等。