題目傳送門

題目描述：t組測試資料，每組資料輸入三個數M，N，K;表示有一個大小為M*N的棋盤和k枚棋子，2 ≤ M, N ≤ 20 ， K ≤ 500. 將K枚棋子放入棋盤中，每個格子最多隻能放一枚棋子，要求最外面的4條邊每一條邊上至少有一個棋子，若棋子恰巧在兩條邊的拐角處，那麼這枚棋子可以覆蓋這兩條邊。問有多少种放置方式，輸出對1000007取模後的結果。

解題思路：所有可能的放置方式減去不符合要求的放置方式。

c[i][j]為組合數，表示從大小為i的棋盤中任意選取j個格子放置棋子，可用楊輝三角來求。

1. 所有可能的放置方式：k枚棋子任意放置在大小為m*n的棋盤上 A=c[m*n][k];

2. 有一條邊沒有被放置：B=(c[m*(n-1)][k]+c[(m-1)*n][k])*2;

3. 有兩條邊沒有被放置：C=c[m*(n-2)][k]+c[(m-2)*n][k]+c[(m-1)*(n-1)][k]*4;

4. 有三條邊沒有被放置：D=(c[(m-1)*(n-2)][k]+c[(m-2)*(n-1)][k])*2;

5. 四條邊都沒有被放置：E=c[(m-2)*(n-2)][k];

顯而易見的是這幾種情況中有很多重複的地方，比如：有一條邊沒有被放置包括有兩條邊沒有被放置、有三條邊沒有被放置、四條邊都沒有被放置，而有兩條邊沒有被放置又包括有三條邊沒有被放置、四條邊都沒有被放置，同理有三條邊沒有被放置包括四條邊都沒有被放置。這就要用到容斥原理，最終結果ans=A-B+C-D+E。

AC程式碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define io ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define ms(arr) memset(arr,0,sizeof(arr))
#define inf 0x3f3f3f
typedef long long ll;
const int mod=1e6+7;
const int maxn=1e5+7;
int t,n,m,k;
int c[500][500];
void getC()//楊輝三角求組合數
{
    for(int i=0; i<500; i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1; j<i; j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    io;
    getC();
    cin>>t;
    for(int o=1; o<=t; o++)
    {
        cin>>n>>m>>k;
        int A=(c[n*m][k])%mod;//所有可能的放置方式
        int B=(2*(c[(n-1)*m][k]+c[n*(m-1)][k]))%mod;//有一條邊沒有被放置
        int C=(c[(n-2)*m][k]+4*c[(n-1)*(m-1)][k]+c[n*(m-2)][k])%mod;//有兩條邊沒有被放置
        int D=(2*(c[(n-2)*(m-1)][k]+c[(n-1)*(m-2)][k]))%mod;//有三條邊沒有被放置
        int E=(c[(n-2)*(m-2)][k])%mod;//四條邊都沒有被放置
        int ans=(A-B+C-D+E+mod)%mod;
        cout<<"Case "<<o<<": "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}