dp基礎之網格問題
阿新 • • 發佈:2018-11-19
問題1:在一個m*n的網格里,從左上到右下一共有多少種路徑,要求,只能向右或向下走?(m,n>0)
程式碼及註釋如下:
#!/usr/bin/python def get_case(m,n): #m,n分別為網格的行列數 #建立一個列表 #f[i][j]表示從左上開始到第i行第j列的點的路徑數 f = [[0]*n]*m #f[0][0]表示初始情況 f[0][0] = 1 for i in range(m): #先行 for j in range(n): #後列 #邊界條件,在最上面行或者在最左邊的列 if i == 0 or j == 0: f[i][j] = 1 else: # 上面走下來+左邊走過來 f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1] return f[m-1][n-1] m = 3 n=4 print(get_case(m,n))
若網格有障礙,且1表示不能通過,0表示可以通過,如何解?
程式碼及註釋如下:
def get_case(A): m,n = len(A),len(A[0]) if m == 0 or n == 0: return 0 f = [[0 for x in range(n)] for y in range(m)] for i in range(m): for j in range(n): #若有障礙,則路徑數位0 if A[i][j] == 1: f[i][j] == 0 else: #無障礙 if i == 0 and j == 0: #初始條件,f[0][0]=1 f[i][j] = 1 else: if i-1 >= 0: # 從上邊走下來 f[i][j] += f[i-1][j] if j-1 >= 0: # 從左邊走過來 f[i][j] += f[i][j-1] return f[m-1][n-1] a = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] print(get_case(a)) 輸出為2
問題2:在一個m*n的網格里,每個網格里都有一個非負的數A[i][j],求從A[0][0]左上到右下的使得路徑上數字之和最小的路徑是多少,要求,只能向右或向下走?
註釋及程式碼如下:
import sys def shortest_path(A): #f[i][j]表示從[0][0]到[i][j]最小數字和 m,n = len(A),len(A[0]) if m == 0 or n==0: return 0 f = [[0 for x in range(n)] for y in range(2)] #空間優化old表示i-1行,now是i行 old ,now = 1,0 for i in range(m): old ,now = now ,old #old是i-1行,now是i行 for j in range(n): #初始條件f[0][0]=A[0][0] if i==0 and j==0: f[now][j] == A[i][j] continue f[now][j] = A[i][j] #如果上面有一行,即不是第0行 if i > 0: temp1 = f[old][j] else: temp1 = sys.maxsize #如果有左邊一列,即不是第1列 if j > 0: temp2 = f[now][j-1] else: temp2 = sys.maxsize f[now][j] += min(temp1,temp2) # if temp1 < temp2: # f[now][j] += temp1 # else: # f[now][j] += temp2 return f[now][n-1] a = [[1,2,2],[1,2,3],[1,1,1]] print(shortest_path(a)) 結果:4
注:時間複雜度為O(mn),空間複雜度是O(2n),其實,空間還可以優化到O(n)
問題3:在一個M*N的網格里,‘0’表示空地,‘W’表示牆,,‘E’表示敵人
現可以在空地放置炸彈,能炸死炸彈位置同行同列的所有敵人,但不能穿透牆。
問:最多能炸死多少個敵人?
程式碼及註釋如下:
#我們考慮每個格子不同方向上能炸死的敵人數,返回能炸死最多的那個敵人數
def bomb_enemies(A):
m,n = len(A),len(A[0])
#先初始化最後結果是0
result = 0
if m == 0 and n == 0:
return 0
f = [[0 for x in range(n)] for y in range(m)]
#res[i][j]表示在格子[i][j]可以炸死四個方向的敵人數,初始化為0
res = [[0 for x in range(n)] for y in range(m)]
#f[i][j]表示格子[i][j]向上能炸死的人數
for i in range(m):
for j in range(n):
#如果是牆,我們假設沒有敵人
if A[i][j] == 'W':
f[i][j] = 0
else:
#有敵人的情況
#先初始化為0
f[i][j] = 0
#若格子[i][j]是敵人,先置為1,因為是從上到下累加
if A[i][j] == 'E':
f[i][j] = 1
if i-1 >= 0:#格子[i][j]上面有格子
#累加
f[i][j] += f[i-1][j]
#將向上能炸死的敵人數累加到res裡
res[i][j] += f[i][j]
#f[i][j]表示格子[i][j]向下能炸死的人數
#這裡應該從下向上計算f[i][j],即先從最後一行開始計算
for i in range(m-1,-1,-1):
for j in range(n):
#如果是牆,我們假設沒有敵人
if A[i][j] == 'W':
f[i][j] = 0
else:
#有敵人的情況
#先初始化為0
f[i][j] = 0
#若格子[i][j]是敵人,先置為1,因為是從下到上累加
if A[i][j] == 'E':
f[i][j] = 1
if i+1 < m:#格子[i][j]下面有格子
#累加
f[i][j] += f[i+1][j]
#將向下能炸死的敵人數累加到res裡
res[i][j] += f[i][j]
#同理求向左和向右的情況
#f[i][j]表示格子[i][j]向左能炸死的人數
for i in range(m):
for j in range(n):
#如果是牆,我們假設沒有敵人
if A[i][j] == 'W':
f[i][j] = 0
else:
#有敵人的情況
#先初始化為0
f[i][j] = 0
#若格子[i][j]是敵人,先置為1,因為是從上到下累加
if A[i][j] == 'E':
f[i][j] = 1
if j-1 >= 0:#格子[i][j]左邊有格子
#累加
f[i][j] += f[i][j-1]
#將向左能炸死的敵人數累加到res裡
res[i][j] += f[i][j]
#f[i][j]表示格子[i][j]向右能炸死的人數
#先從最後一列開始計算
for i in range(m):
for j in range(n-1,-1,-1):
#如果是牆,我們假設沒有敵人
if A[i][j] == 'W':
f[i][j] = 0
else:
#有敵人的情況
#先初始化為0
f[i][j] = 0
#若格子[i][j]是敵人,先置為1
if A[i][j] == 'E':
f[i][j] = 1
if j+1 < n:#格子[i][j]右邊有格子
#累加
f[i][j] += f[i][j+1]
#將向右能炸死的敵人數累加到res裡
res[i][j] += f[i][j]
#此時res[i][j]表示的是格子[i][j]向四個方向能炸死的敵人數
for i in range(m):
for j in range(n):
#如果是空地
if A[i][j] == '0' :
#如果空地能炸死的敵人有更大的數量,則更新最終結果result
if res[i][j] > result:
result = res[i][j]
return result
A = [['0','E','0','0'],['E','0','W','E'],['0','E','0','0']]
print(bomb_enemies(A))
結果是3
注:如果給出的矩陣是方陣,不用四個迴圈來計算四個方向的敵人數,讓方陣轉向3次即可=-=