<題目連結>

題目大意：
給出n個點m條單向邊邊以及經過每條邊的費用，讓你求出走過一個哈密頓環（除起點外，每個點只能走一次）的最小費用。題目保證至少存在一個環滿足條件。

解題分析：

因為要求包含所有點一次的環，我們不難發現，這個環中的每個點的出度和入度均為1，所以我們不妨將每個點進行拆點，將所有點的出度和入度分為兩部分。因為該環需要包括所有的點，並且題目需要求該環的最小權值，相當於該帶權二分圖的每個點都需要被覆蓋到，由於本題就轉化為求該二分圖的最優完美匹配問題。二分圖的最優匹配問題求解，我們會想到KM演算法，但是KM是求最大權完美匹配，所以我們對每個邊的權值全部取反，這時候求出的最大權值(該權值<0)的相反數就是最小權值的完美匹配了。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int N =205;
 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 8 #define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
 9 #define INF 0x3f3f3f3f
10 int n,linker[N],w[N][N],lx[N],ly[N],slack[N];
 
11 int visx[N],visy[N],nx,ny;
12 bool DFS(int x){
13     visx[x]=1;
14     rep(y,1,n){
15         if(visy[y]==1)continue;    //每次只常識匹配一次y，相當於匈牙利中的vis[]
16         int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y];  //x,y期望值之和與x,y之間的權值的差值
17         if(!tmp){   //x,y之間期望值==他們之間權值時符合要求
18             visy[y]=1;
19             if
 
(linker[y]==-1||DFS(linker[y])){   //y沒有歸屬者，或者y的原始歸屬者能夠找到其他歸屬者
20                 linker[y]=x;
21                 return true;
22             }
23         }else slack[y]=min(slack[y],tmp);
24     }
25     return false;
26 }
27 int KM(){
28     mem(linker,-1);mem(ly,0);   //初始化，y的期望值為0
29     rep(i,1,nx){     //初始化lx[]陣列
30         lx[i]=-INF;
31         for(int j=1;j<=ny;j++){
32             lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);   //lx為x的期望值,lx初始化為與它關聯邊中最大的
33         }
34     }
35     //為每一個x嘗試解決歸屬問題
36     rep(x,1,n){
37         rep(i,1,n)slack[i]=INF;
38         while(true){
39             mem(visx,0);mem(visy,0);
40             if(DFS(x))break;//若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下一個點的增廣               
41             //若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。
42             //方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的X方點的標號全部減去一個常數d，
43             //所有在增廣軌中的Y方點的標號全部加上一個常數d
44             int d=INF;
45             rep(i,1,ny)if(!visy[i])d=min(d,slack[i]);   //d為沒有匹配到的y的slack中的最小值
46             rep(i,1,nx)if(visx[i])lx[i]-=d;
47             rep(i,1,ny)
48                 if(visy[i])ly[i]+=d;
49                 else slack[i]-=d;      //修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d
50         }
51     }
52     int res=0;
53     rep(i,1,ny){
54         if(linker[i]!=-1)
55             res+=w[linker[i]][i];
56     }
57     return res;
58 }
59 /*--  以上為KM演算法模板   --*/
60 int main(){
61     int T,m,u,v,c;scanf("%d",&T);
62     while(T--){
63         scanf("%d%d",&n,&m);
64         rep(i,1,n) rep(j,1,n){
65             w[i][j]=-INF;
66         }
67         //將每個點進行拆點，分成出度(x部分)和入度(y部分)兩部分來處理
68         nx=ny=n;
69         rep(i,1,m){
70             scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
71             if(w[u][v]<-c)    //因為要求最小的權值，而KM演算法是求最大的權值，所以這裡將所有邊的權值取反,這樣用KM算出的最大值的相反數就是最小值了
72                 w[u][v]=-c;   //去重邊，取權值最小的邊
73         }
74         printf("%d\n",-1*KM());   //對求出的最大值取反即可
75     }
76 }

2018-11-18