【最短路】【Floyd演算法】【模板】講解 + 例題 HDU 1874 暢通工程續

Floyd演算法講解

• 適用情況：多源多匯最短路（即求任意兩點間的最短路）
• 複雜度： O(v^3)
• 思想： DP 通過列舉中間點來優化它的時間複雜度
  
  • d[i][j][k]表示從i到j在節點只允許經過[0,k]時的最短距離
  • a. 如果最短路經過k點，則d[i][j][ k ] = d[i][k][k-1] + d[k][j][k-1]
  • b. 如果最短路不經過k點，則d[i][j][k] = d[i][j][k-1]
  • 於是有狀態轉移方程： d[i][j][k] = min{ d[i][j][k-1], d[i][k][k-1] + d[k][j][k-1] }
  • 一般省去後面一維，變為二維：d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}

模板：

• 核心程式碼：

for(int k = 0; k < n; k++)
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            if(dis[i][k] < INF && dis[k][j] < INF)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
        }
 

• 初始化：

vector<vector<int> > dis(n);//vector二維可變長陣列

for(int i = 0; i < n; i++)
{
    dis[i].resize(n, INF);//初始化設定dis[i]的長度，並用INF作為初始值
    dis[i][i] = 0;
}

for(int i = 0; i < m; i++)//輸入邊
{
    int u, v, w;
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
    dis[u][v] = dis[v][u] = w;//雙向邊
 

}

• TIPS：
  
  • 這裡用 vector<vector<int> >作為二維陣列來儲存邊，其中定義是要用dis(n)，（n）用於初始化長度，不可以寫作[n]！
  • resize(n, val)函式用於重新確定大小，可以在容器的尾部新增或者刪除一些元素，來調整容器的大小使其達到指定的大小，如果需要新增元素，那麼新增的元素值為val，如果val省略，則新增的元素為預設值。
  • 注意將resize和reserve函式區分開，reserve函式是用於重新分配空間，表示容量（capacity）。比如現在要建一輛公共汽車，用reserve分配了20個座位的空間，此時只能說明這輛車有20個座位這麼大，但裡面並沒有座位，還需要用resize給汽車安裝20個座位，有了座位後，才可以設定每個座位的值。

例題 HDU 1874 暢通工程續

Problem Description

某省自從實行了很多年的暢通工程計劃後，終於修建了很多路。不過路多了也不好，每次要從一個城鎮到另一個城鎮時，

都有許多種道路方案可以選擇，而某些方案要比另一些方案行走的距離要短很多。這讓行人很困擾。

現在，已知起點和終點，請你計算出要從起點到終點，最短需要行走多少距離。

Input

本題目包含多組資料，請處理到檔案結束。
每組資料第一行包含兩個正整數N和M(0 < N < 200，0 < M < 1000)，

分別代表現有城鎮的數目和已修建的道路的數目。城鎮分別以0～N-1編號。
接下來是M行道路資訊。每一行有三個整數A,B,X(0 <= A,B < N, A != B, 0 < X < 10000), 表示城鎮A和城鎮B

之間有一條長度為X的雙向道路。
再接下一行有兩個整數S,T(0 <= S, T < N)，分別代表起點和終點。

Output

對於每組資料，請在一行裡輸出最短需要行走的距離。如果不存在從S到T的路線，就輸出-1.

Sample Input

3 3
0 1 1
0 2 3
1 2 1
0 2
3 1
0 1 1
1 2

Sample Output

2
-1

題意：
給出起點和終點，求最短路

思路：
求任意兩點的最短距離，可以用floyd處理，但是這裡要注意的是，兩個城市間可能有多條路，所以需要儲存最短的路徑！

AC程式碼：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <vector>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int main()
{
    int n, m, s, t;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        vector<vector<int> > dis(n);
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            dis[i].resize(n, INF);
            dis[i][i] = 0;
        }
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            int a, b, x;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
            if(dis[a][b] > x)
                dis[a][b] = dis[b][a] = x;
        }
        scanf("%d%d", &s, &t);
        for(int k = 0; k < n; k++)
            for(int i = 0; i < n; i++)
                for(int j = 0; j < n; j++)
                {
                    if(dis[i][k] < INF && dis[k][j] < INF)
                        dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
                }
        if(dis[s][t] != INF)
            printf("%d\n", dis[s][t]);
        else
            printf("-1\n");
    }
    return 0;
}