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【思路要點】

• 首先，本題一點重要的觀察是，新建的路徑的兩個端點必定在樹的直徑上，若一個方案新建路徑的兩個端點有一個不在直徑上，我們令其向直徑靠近，不會使答案變劣。
• 因此，我們可以將直徑拿出來考慮，令直徑上點數為 $tot$
  tot ，每一個點為 $pos_i$
  ， $pos_i$ 與 $p$
  o s i − 1 pos_{i-1} 在樹上的連邊長度為 $len_i$ ， $pre_i=\sum_{j=1}^{i}len_j$ 。
• 如果我們切斷直徑上所有的邊，樹會分成 $tot$ 塊，每一塊的直徑是無可避免的，令 $L$ 為每一塊直徑的最大值，則答案至少為 $L$ ，至多為直徑長度 $R$ 。令 $down_i$ 為從 $pos_i$ 出發在第 $i$ 塊內的最長路徑的長度。
• 有了答案的區間 $[L,R]$ ，考慮二分答案 $mid$ ，判斷是否存在使得所有距離不超過 $mid$ 的連邊方案。
• 假設我們最終的連邊為 $a\rightarrow b\ (a<b)$ ，那麼對於任意一對 $i<j$ ，以下兩點至少有一點成立是存在方案的充要條件：
  $1$ 、 $down_i+down_j+pre_j-pre_i≤mid$
  $2$ 、 $down_i+down_j+|pre_i-pre_a|+|pre_j-pre_b|+Len≤mid$ ，其中 $Len$ 為新增的邊長
• 由於要求是 $≤mid$ ，我們可以列舉 $2$ 式中的兩個絕對值的展開方式，將其轉化為 $4$ 個不帶絕對值的限制。
• 對 $pos_i$ 分別按照 $down_i+pre_i,down_i-pre_i$ 排序，在第一個順序中列舉 $j$ ，對應滿足 $1$ 式的 $i$ 應當是第二個順序的一個字首，忽略掉滿足 $1$ 式的 $(i,j)$ ，對於剩餘的一定要滿足 $2$ 式的 $(i,j)$ ，我們分別求出出現過最緊的限制 $limit_1,limit_2,limit_3,limit_4$ 。
• 接下來問題轉化為了判斷是否存在 $(a,b)$ ，滿足
  $1$ 、 $-pre_a-pre_b≤limit_1$
  $2$ 、 $-pre_a+pre_b≤limit_2$