題目詳情

給定一個字串 S 和一個字串 T，計算在 S 的子序列中 T 出現的個數。

一個字串的一個子序列是指，通過刪除一些（也可以不刪除）字元且不干擾剩餘字元相對位置所組成的新字串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一個子序列，而 “AEC” 不是）
示例 1:

輸入: S = "rabbbit", T = "rabbit"
輸出: 3
解釋:

如下圖所示, 有 3 種可以從 S 中得到 "rabbit" 的方案。
(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2:

輸入: S = "babgbag", T = "bag"
輸出: 5
解釋:

如下圖所示, 有 5 種可以從 S 中得到 "bag" 的方案。 
(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

題目詳解

動態規劃關鍵是找到遞推公式， 而找到遞推公式，首先就是要找到如何表示陣列dp 然後找到遞推關係。

我們可以發現。此題和編輯距離一樣。都是由兩個字串， 是從一個字串變到另一個字串， 對於編輯距離這個題是在字串1進行增， 刪， 改操作變到字串2， 此題是在字串1裡找到字串2。

所以對於此題我們先構造dp， 類似於編輯距離， 定義dp[i][j]，表示字串1的從0開始長度為i的字串， 和字串2的從長度為j的字串， 這兩個字串匹配的個數。

下面就是要找遞推式了

首先開始可能遞推看不出來， 所以有些做法就是寫一個例子， 然後把例子的dp全部寫出來， 這裡就以題目的S = “rabbbit”, T = "rabbit"例子

觀察到

• 最終結果是dp[S.size()][T.size()]
• 每當S[i] == T[j]時， dp[i][j]會增加， 比如S = rabb, T = rab. 此時dp[i][j] = dp[i][j-1] + x （x為增加量）
• 當S[i] != T[j]時 dp[i][j] 會不變
• x是什麼呢?，對於例子S=rabbb， T=rabb, x為2， 而dp[i-1][j-1] = 2, 而且其他的例子也能推出來，所以可以假設x = dp[i-1][j-1]
• 當計算dp[i][j]時， dp[i][j-1]是一定被包括進去的， 當兩個字串的最後一個字元相同時， 那麼dp[i-1][j-1]也會包括進去

通過上面的分析， 我們已經找到了遞推式子

dp[i][j] = dp[i][j-1] +  (s[i] == t[j]) ? dp[i-1][j-1] : 0

而且通過上面的例子 可以找到初始情況

dp[0][j] = 0;
dp[j][0] = 1; (包含空串)
dp[0][0] = 1 （防止第一個條件覆蓋）

AC程式碼

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<int> > dp(t.size() + 1, vector<int>(s.size() + 1, 0));
        //初始化dp陣列
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i < s.size() + 1; ++i) {
            dp[0][i] = 1;

        }
        for (int i = 1; i < t.size() + 1; ++i) {
            dp[i][0] = 0;
        }
            
        //dp迴圈求解
        for (int i = 1; i < t.size() + 1; ++i) {
            for (int j = 1; j < s.size() + 1; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                if (s[j - 1] == t[i - 1])
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return dp[t.size()][s.size()];
    }
};