不同的子序列

給定一個字串 S 和一個字串 T，計算在 S 的子序列中 T 出現的個數。

一個字串的一個子序列是指，通過刪除一些（也可以不刪除）字元且不干擾剩餘字元相對位置所組成的新字串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一個子序列，而 "AEC" 不是）

示例 1:

輸入: S = "rabbbit", T = "rabbit"

輸出: 3

解釋:

如下圖所示, 有 3 種可以從 S 中得到 "rabbit" 的方案。

(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

rabbbit

^^^^ ^^

rabbbit

^^ ^^^^

rabbbit

^^^ ^^^

示例 2:

輸入: S = "babgbag", T = "bag"

輸出: 5

解釋:

如下圖所示, 有 5 種可以從 S 中得到 "bag" 的方案。

(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

babgbag

^^ ^

babgbag

^^ ^

babgbag

^ ^^

babgbag

^ ^^

babgbag

^^^

動態規劃題目。

以S ="rabbbit",T = "rabbit"為例）：

dp[i][j]表示T的從0開始長度為i的子串和S的從0開始長度為j的子串的匹配的個數。

比如, dp[2][3]表示T中的ra和S中的rab的匹配情況。

(1)顯然，至少有dp[i][j] = dp[i][j - 1].

比如, 因為T 中的"ra" 匹配S中的 "ra"， 所以dp[2][2] = 1 。 顯然T 中的"ra" 也匹配S中的 "rab"，所以s[2][3] 至少可以等於dp[2][2]。

(2) 如果T[i-1] == S[j-1]， 那麼dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0)；

比如, T中的"rab"和S中的"rab"顯然匹配，

根據(1)， T中的"rab"顯然匹配S中的"rabb"，所以dp[3][4] = dp[3][3] = 1，

根據(2), T中的"rab"中的b等於S中的"rab1b2"中的b2, 所以要把T中的"rab"和S中的"rab1"的匹配個數累加到當前的dp[3][4]中。 所以dp[3][4] += dp[2][3] = 2;

(3) 初始情況是

dp[0][0] = 1; // T和S都是空串.

dp[0][1 ... S.length() ] = 1; // T是空串，S只有一種子序列匹配。

dp[1 ... T.length() ][0] = 0; // S是空串，T不是空串，S沒有子序列匹配。

 1 class Solution{
 2 public:
 3     int numDistinct(string S, string T){
 4         vector<vector<int>> dp(T.length() + 1, vector<int>(S.length() + 1, 0));
 5         dp[0][0] = 1;
 6         for (int i = 1; i<S.length() + 1; i++){
 7             dp[0][i] = 1;
 8         }
 9         for (int i = 1; i<T.length() + 1; i++){
10             dp[i][0] = 0;
11         }
12         for (int i = 1; i<T.length() + 1; i++){
13             for (int j = 1; j<S.length() + 1; j++){
14                 dp[i][j] = dp[i][j - 1];
15                 if (S[j - 1] == T[i - 1]){
16                     dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
17                 }
18             }
19         }
20         return dp[T.length()][S.length()];
21     }
22 };