形象理解線性代數(一)——什麼是線性變換?
在之前學習線性代數的時候,我們總是說矩陣乘以向量就是對其進行了線性變換,而且我們可以很容易的計算出結果,但是我們並不知道其在形象的幾何角度有什麼意義。於是我們可以這樣來理解:
首先,向量可以有三種表示形式,帶有箭頭的有向線段,符號以及,下面我們將在這三種表示中來回轉換,並且以二維空間為例,來說明其中之奧祕。
一、向量在空間中的表示
任何一個空間都可以由一組基構成,言外之意,這個空間上的任何一個點(向量)都可以由這組基以線性組合的形式得到。比如,X-Y平面,其實就是一組基張成的空間,而我們所說的向量其實就是線性組合。
二、矩陣乘以向量與線性變換的意義
矩陣乘的意義,其實就是將一個向量,經過某個函式(矩陣)之後,輸出成為另外一個向量。或者說,變換就是意味著,將原來的向量運動(變換)到另一個地方。而線性變換,也就是在變換的基礎上,再加一個條件,線性的,也就是原來的一條直線,在變換了之後還應該是直線。
下面我們來理解什麼是線性變換。為了避免混淆,我們不用XY的xy基底,而是選用一組新的基底來描述原空間的基。
假設我們有原向量, 而我們想要把向量經過矩陣A變換成另外一個向量。假設我們的變換矩陣(逆時針旋轉90度),我們來看,按照之前計算的結果是,先記錄下這個結果。
我們再來看另外一種解釋:矩陣A對向量的變換,其實是施加在其基底上的變換,而新的向量關於新的基底的線性組合,與原來的向量關於原來的基底的線性組合,是一樣的。看解釋:
左圖中,,線性變換的係數為(1,1)。經過線性變換A之後變成新的基底。而新的向量,其關於基底的係數也是(1,1)。並且最後的計算結果是不是和上面我們之前計算的一樣?
所以我們說,一個向量,在經過一個矩陣A的變換之後,改變的是組成向量的基,而這個向量關於基的線性組合方式是沒有變化的。
換句話說,對於一個線性變換,我們只需要跟蹤其基在變換前後的變化,便可以掌握整個空間的變化。而矩陣A的列其實與變換後新的基底之間有著某些聯絡,也就是說,新的基底其實就是矩陣A的列向量的線性組合:,其中是A的列。說到這裡,也就是說,其實矩陣A的列空間,在某種意義上就代表了變換後的新的空間。(關於矩陣的列空間、特徵向量會在後面的部落格中說明)。
三、非列滿秩矩陣
如果說有一個變換(矩陣A),其列是相關的(如),那麼也就代表,經過這個矩陣變換後的新的空間的兩個基底是在一條直線上,那麼新的空間就不是一個平面,而是一條直線了。說到這裡,對矩陣的秩和其空間的維度之間是不是也聯絡起來了,以及線性相關線性無關。
四、矩陣相乘
通過上面的解釋,我們已經知道,原來矩陣其實就對應著某種變換,是矩陣對於向量的變換,而涵蓋所有向量的幾何就叫空間,所以一個矩陣就對應著一個空間變換的概念。但這是矩陣乘以向量代表的是對向量的變換,那麼矩陣相乘呢?
矩陣相乘其實就意味著對向量(空間)進行兩次變換的疊加效果。並且先變換A後變換B和先變換B後變換A是不一樣的,因此AB和BA不相等。