Distinct Subsequences 

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, 

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

分析：此題乍一看看不明確啥意思，後面慢慢理解。就是說T是S的子串，這裡的子串是說原字串刪除某些字元後剩餘字元的組合，題目是S中通過刪除操作獲得子串T的數目。如樣例中的第一個為刪掉第一個b，第二個為刪除第二個b，第三個為刪除第三個b，因此數量為3.

首先想到的方法是回溯法。可是遇到長串時超時。裡面包括太多反覆子問題。

程式碼例如以下：Time Limit Exceeded

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        num = 0;
        if(S.length() < T.length()){
            return num;
        }
        numDistinctCore(S,T,0,0);
        return num;
    }
    void numDistinctCore(string& S,string& T, int si, int tj){
        int slen = S.length();
        int tlen = T.length();
        if(slen-si < tlen -tj){
            return;
        }
        if(tj == tlen){
            ++num;
        }
        for(int i = si; i<slen; ++i){
            if(S[i] == T[tj]){
                numDistinctCore(S,T,i+1, tj+1);
            }
        }
    }
    int num;
};
 

考慮到回溯法子問題反覆求解。想到利用動態規劃的方法。此題有些像求最大公共字串，可是須要改動一下，尋找子問題。

設dp[i][j]為S字串截止到i時。能將S前面字串能轉換為T截止到j的子串的轉換次數。求dp[i][j]時。一種方法轉換時即刪除S[i]，變回S[i-1][j]的問題。還有一種方法。假設S[i] == T[j]。則轉換為dp[i-1][j-1]的問題。

即為同樣時為 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] 。不同一時候為 dp[i][j] = dp[i-1][j] 

Accepted

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        int slen = S.length();
        int tlen = T.length();
        if(slen < tlen){
            return 0;
        }
        int **dp = new int*[slen+1];
        for(int i=0; i<slen+1; ++i){
            dp[i] = new int[tlen+1];
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j=1; j<tlen+1; ++j){
            dp[0][j] = 0;
        }
        for(int i=1; i<slen+1; ++i){
            for(int j=1; j<tlen+1; ++j){
                int temp = dp[i-1][j];
                if(S[i-1] == T[j-1]){
                    temp += dp[i-1][j-1];
                }
                dp[i][j] = temp;
            }
        }
        int result = dp[slen][tlen];
        for(int i=0; i<slen+1; ++i){
            delete[] dp[i];
        }
        delete[] dp;
        return result;
    }
   
};