什麼是圖

• 表示“多對多”的關係
• 包含
  • 一組頂點：通常用V (Vertex) 表示頂點集合
  • 一組邊：通常用E (Edge) 表示邊的集合
    • 邊是頂點對： $(v,w$
      ) ∈ E (v, w) \in\mathbb E ，其中 $v$
      , w ∈ V v, w \in\mathbb V
    • 有向邊< v, w> 表示從v指向w的邊（單行線）
    • 不考慮重邊和自迴路
      

抽象資料型別定義

• 型別名：圖（Graph）
• 資料物件集：G(V,E)由一個非空的有限頂點集合V和一個有限邊集合E組成（頂點不為空，邊可以為空）。
• 操作集：對於任意圖 $G\in\mathbb Graph$，以及 $v\in\mathbb V$, $e\in\mathbb E$
  • Graph Create()：建立並返回空圖；
  • Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：將v插入G；
  • Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：將e插入G；
  • void DFS(Graph G, Vertex v)：從頂點v出發深度優先遍歷圖G；
  • void BFS(Graph G, Vertex v)：從頂點v出發寬度優先遍歷圖G；
  • void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：計算圖G中頂點v到任意其他頂點的最短距離；
  • void MST(Graph G)：計算圖G的最小生成樹；

常用術語

網路：就是邊上有權值的圖

怎麼在程式中表示一個圖

1、鄰接矩陣

問題：對於無向圖的儲存，怎樣可以省一半空間？
用一個長度為N(N+1)/2的1維陣列A儲存{G₀₀,G₁₀,G₁₁,……,G_(n-1)0,…,G_(n-1)(n-1)}，
則G_ij在A中對應的下標是：

( i*(i+1)/2 + j )

對於網路，只要把G[i][j]的值定義為邊
<v_i,v_j>的權重即可。

鄰接矩陣優點

• 直觀、簡單、好理解
• 方便檢查任意一對頂點間是否存在邊
• 方便找任一頂點的所有“鄰接點”（有邊直接相連的頂點）
• 方便計算任一頂點的“度”（從該點發出的邊數為“出度”，指向該點的邊數為“入度”）
  • 無向圖：對應行（或列）非0元素的個數
  • 有向圖：對應行非0元素的個數是“出度”；對應列非0元素的個數是“入度”

鄰接矩陣缺點

• 浪費空間—— 存稀疏圖（點很多而邊很少）有大量無效元素
  • 對稠密圖（特別是完全圖）還是很合算的
• 浪費時間—— 統計稀疏圖中一共有多少條邊

2、鄰接表

鄰接表優缺點

• 方便找任一頂點的所有“鄰接點”
• 節約稀疏圖的空間
  • 需要N個頭指標+ 2E個結點（每個結點至少2個域）
• 方便計算任一頂點的“度”？
  • 對無向圖：是的
  • 對有向圖：只能計算“出度”；需要構造“逆鄰接表”（存指向自己的邊）來方便計算“入度”
• 不能檢查任意一對頂點間是否存在邊