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線代--求逆矩陣

阿新 • • 發佈：2018-11-22

首先公式是醬紫的

若|A|≠0（保證矩陣A可逆），則有

A^{-1=\frac{1}{|A|}A^{*}

其中|A|為方陣的行列式，即由n階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變喲）

A^{*}為矩陣的伴隨矩陣，即由行列式|A|的各元素的代數餘子式A_{ij}所構成的矩陣

  1. 二階三步走：①主對角線交換位置②副對角線添負號③除以行列式的值

eg:已知二階矩陣A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}，則其逆矩陣A^{-1}為___(ad-bc)\begin{pmatrix} d &-b \\ -c&a \end{pmatrix}_____//智障如我，不會給公式加下劃線，please understand

解析：①\begin{pmatrix} d&b \\c & a \end{pmatrix}

②\begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}

③(ad-bc)\begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}

2.①求餘子式②轉置③除以行列式的值

eg：知方陣B=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &2 &3 \\ 2&2 &1 \\ 3&4 &3 \end{smallmatrix}\bigr)，則其逆矩陣B^{-1}為_______\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &3 &-2 \\ \frac{3}{-2}& -3&\frac{5}{2} \\ 1 &1 &-1 \end{smallmatrix}\bigr)_______

解析：|B|=2≠0，則B^{-1}

存在

計算|B|的代數餘子式，得

\begin{pmatrix} 2 &3 &2\\ -6&-6 &2 \\ -4&5&-2 \end{pmatrix}

則其伴隨矩陣為

\begin{pmatrix} 2 &6 &-4 \\ -3&-6 &5 \\ 2&2 &-2 \end{pmatrix}

則B^{-1}=\frac{1}{|B|}B^{*}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 &6 &-4 \\ -3&-6 &5 \\ 2&2 &-2 \end{pmatrix}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &3 &-2 \\ \frac{3}{-2}& -3&\frac{5}{2} \\ 1 &1 &-1 \end{smallmatrix}\bigr)

 

 

 

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