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洛谷 P3521
BZOJ 2212
LOJ #2163

Solution

• 非常有意思的題
• 一個直觀的想法
• 對於一個點 $u$
• 計算出 $cn{t}_{}$
  1 cnt_1 表示葉子 $v$ 在 $u$
  u 的左子樹內， $w$ 在 $u$ 的右子樹內，滿足 $v$
  v 的權值大於 $w$ 的權值的二元組 $(v,w)$ 個數
• $cnt_2$ 表示 $v$ 在右子樹內， $w$ 在左子樹內
• 如果 $cnt_1>cnt_2$ 則交換 $u$ 的左右子樹
• 為最終答案貢獻 $\min(cnt_1,cnt_2)$
• 但事實上 $cnt_1+cnt_2$ 等於 $u$ 的左子樹大小與右子樹大小之積
• 所以我們的關鍵點就是求 $cnt_1$
• 考慮對每個節點開一棵動態開點權值線段樹，儲存子樹內權值資訊
• 設 $u$ 的左子節點為 $lc$ ，右子節點為 $rc$
• 合併 $lc$ 和 $rc$ 所對應的權值線段樹作為 $u$ 所對應的權值線段樹
• 線上段樹合併的過程中統計 $cnt_1$
• 具體地，如果合併線段樹節點 $x$ 和 $y$ 的子樹
• 那麼為 $cnt_1$ 貢獻 $size[rc_x]\times size[lc_y]$
• 其中 $lc_x$ 和 $rc_x$ 分別表示線段樹節點 $x$ 的左右子節點
• $size[x]$ 表示線段樹節點 $x$ 對應值域的權值個數
• 對於每個葉子節點，我們都會新建一條從線段樹根到葉子的長度為 $O(\log n)$ 的鏈
• 而兩個線段樹節點合併必然導致其中一個點被扔掉
• 複雜度 $O(n\log n)$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

typedef long long ll;

const int N = 3e6 + 5;

int n, ToT, top, stk[N], tot;
ll ans, delta;

struct node
{
	int lc, rc, sum;
	
	void init()
	{
		lc = rc = sum = 0;
	}
} T[N];

struct aruba
{
	int x, y, z;
};

int newnode()
{
	if (top) return T[stk[top]].init(), stk[top--];
	return ++ToT;
}

int segtree(int l, int r, int pos)
{
	int u = newnode(), mid = l + r >> 1;
	T[u].sum = 1;
	if (l == r) return u;
	if (pos <= mid) T[u].lc = segtree(l, mid, pos);
	else T[u].rc = segtree(mid + 1, r, pos);
	return u;
}

int mer(int x, int y)
{
	if (!x || !y) return x + y;
	stk[++top] = y;
	T[x].sum += T[y].sum;
	delta += 1ll * T[T[x].rc].sum * T[T[y].lc].sum;
	T[x].lc = mer(T[x].lc, T[y].lc);
	T[x].rc = mer(T[x].rc, T[y].rc);
	return x;
}

aruba jiejuediao()
{
	int x = ++tot, p = read();
	if (p) return (aruba) {x, segtree(1, n, p), 1};
	aruba lc = jiejuediao(), rc = jiejuediao();
	delta = 0;
	int rt = mer(lc.y, rc.y);
	ans += Min(1ll * lc.z * rc.z - delta, delta);
	return (aruba) {x, rt, lc.z + rc.z};
}

int main()
{
	n = read();
	jiejuediao();
	std::cout << ans << std::endl;
	return 0;
}