1. 什麼是Trie?

Trie，又稱字首樹或字典樹，是一種有序樹，用於儲存關聯陣列，其中的鍵通常是字串。與二叉查詢樹不同，鍵不是直接儲存在節點中，而是由節點在樹中的位置決定。一個節點的所有子孫都有相同的字首，也就是這個節點對應的字串，而根節點對應空字串。一般情況下，不是所有的節點都有對應的值，只有葉子節點和部分內部節點所對應的鍵才有相關的值。
Trie可以看作是一個確定有限狀態自動機，儘管邊上的符號一般是隱含在分支的順序中的。

2. Trie的應用

(1) 自動補全
例如,你在百度搜索的輸入框中,輸入一個單詞的前半部分,它能夠自動補全出可能的單詞結果。
(2) 拼寫檢查
例如,在word中輸入一個拼寫錯誤的單詞, 它能夠自動檢測出來。
(3) IP路由表
在IP路由表中進行路由匹配時, 要按照最長匹配字首的原則進行匹配。
(4) T9預測文字
在大多手機輸入法中, 都會用9格的那種輸入法. 這個輸入法能夠根據使用者在9格上的輸入,自動匹配出可能的單詞。
(5) 填單詞遊戲
相信大多數人都玩過那種在橫豎的格子裡填單詞的遊戲。

3. Trie的相關操作

(1)Trie的結點結構

• 根結點一般為空
• 每個結點最多有R個孩子,每個孩子分別對應字母表資料集中的一個字母(通常情況下,R為26,字母表為26個英文字母 ).
• 每個結點都有一個boolean型別的域, 代表這個結點是否是一個key的末尾.

class TrieNode {

    // R links to node children
    private TrieNode[] links;

    private final int R = 26;

    private boolean isEnd;

    public
 
 TrieNode() {
        links = new TrieNode[R];
    }

    public boolean containsKey(char ch) {
        return links[ch -'a'] != null;
    }
    public TrieNode get(char ch) {
        return links[ch -'a'];
    }
    public void put(char ch, TrieNode node) {
        links[ch -'a'] = node;
    }
    public
 
 void setEnd() {
        isEnd = true;
    }
    public boolean isEnd() {
        return isEnd;
    }
}

(2) 向trie中插入一個關鍵字

基本思想:
從根結點開始, 向下依次尋找當前結點的link中, 是否有與關鍵字key中相應位置的字母相同的link;

• 如果有:沿著該link到下一層繼續尋找;
• 如果沒有: 則新建一個node, 插入當前結點的link中,然後沿link到下一層繼續尋找；

向下遍歷到key的末尾時, 修改該結點的boolean指示值,表示是關鍵字末尾.

class Trie {
    private TrieNode root;

    public Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    // Inserts a word into the trie.
    public void insert(String word) {
        TrieNode node = root;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
            char currentChar = word.charAt(i);
            if (!node.containsKey(currentChar)) {
                node.put(currentChar, new TrieNode());
            }
            node = node.get(currentChar);
        }
        node.setEnd();
    }
}

時間複雜度O(m), m是關鍵字字串的長度; 空間複雜度也為O(m), m是關鍵字字串的長度.

(3) 在trie中查詢一個關鍵字

基本思想:
從根結點開始, 根據關鍵字中的字母,沿著不同的link向下搜尋, 依次比較當前節點的link中是否有和關鍵字相應字母相同的link.

• 如果有,則繼續到下一層搜尋
• 如果沒有, 說明已經到一個單詞的末尾. 此時看關鍵字是否遍歷到了末尾,如果到了末尾的話, 說明匹配成功; 如果沒有到末尾,說明只匹配到了關鍵字的一個字首,匹配失敗.

class Trie {
    ...

    // search a prefix or whole key in trie and
    // returns the node where search ends
    private TrieNode searchPrefix(String word) {
        TrieNode node = root;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
           char curLetter = word.charAt(i);
           if (node.containsKey(curLetter)) {
               node = node.get(curLetter);
           } else {
               return null;
           }
        }
        return node;
    }

    // Returns if the word is in the trie.
    public boolean search(String word) {
       TrieNode node = searchPrefix(word);
       return node != null && node.isEnd();
    }
}

時間複雜度O(m), m是關鍵字字串長度；空間複雜度O(1).

(4) 在trie中查詢一個關鍵字是否是字首

這個操作和(3)在trie中查詢一個關鍵字很相似, 不同的是, 這裡的關鍵字不必是某個單詞的末尾, 只需是字首即可.

class Trie {
    ...

    // Returns if there is any word in the trie
    // that starts with the given prefix.
    public boolean startsWith(String prefix) {
        TrieNode node = searchPrefix(prefix);
        return node != null;
    }
}

時間複雜度O(m), m是關鍵字字串長度；空間複雜度O(1).

4. Trie的優點

還有其他幾種資料結構，如平衡樹和雜湊表，它們可以在字串資料集中搜索一個單詞。那為什麼我們還需要trie？
雖然雜湊表在查詢某個關鍵字時有O（1）的時間複雜度，但以下操作效率不高：

• 用共同的字首查詢所有的鍵。
• 以字典順序列舉字串資料集。

trie優於雜湊表的另一個原因是，隨著雜湊表的大小增加，會有很多雜湊衝突，搜尋時間複雜度可能會惡化到 O（n ），其中n是插入的f關鍵字的數量。當儲存具有相同字首的多個關鍵字時，Trie可以使用比雜湊表少的空間。在這種情況下，使用trie只有O（m ）時間複雜度，其中m是關鍵字長度。而在平衡樹中查詢關鍵字的時間複雜度為 O（m l o g n ）。

參考資料:
1. https://en.wikipedia.org/wiki/Trie
2. https://leetcode.com/articles/implement-trie-prefix-tree/