樹狀陣列理論闡述及幾道經典例題講解
阿新 • • 發佈：2018-11-23
1、lowbit操作
- 函式功能：求某一個數的二進位制表示中最低的一位1。舉個例子，x = 12，它的二進位制為1100，那麼lowbit(x)就返回4，因為最後一位1表示4。
- 演算法實現：先用x&(x-1)消除最後一位1，再用原數x減去消除最後一位1後的數，即得答案。若學過計算機組成原理，也可用x&(-x)，即x按位與自身補碼，也可以得到。
- 舉例說明：比如12，二進位制為1100，x-x&(x-1)=1100-1100&(1100-1)=1100-1100&1011=1100-1000=100，即4；x&(-x)=1100&(0011+1)=1100&0100=100,也是4。一般lowbit就這兩種實現方法。
int lowbit(int x)
{
return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}
2、在第i個數上加value
// 在第i個數上加上value
void add(int i, int value)
{
while (i<= N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
- 如上圖，要在結點3上加上value，則首先在3上+value，3的二進位制為11，lowbit(3)+3 = 1+11=100,即需要在結點4上+value，4+lowbit(4) = 100+100=1000,即需要在8結點上+value，以此類推，直到n個結點為止。可以看出在某個節點上加上value不止需要維護該節點，還需維護其它結點。這個操作時間複雜度為O(logn)
求前i個元素和
// 取出前i個元素之和
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
- 也是這個圖。從圖中可以看出，假設我要求1到11元素和，那我只需要求1-8，9-10和11這三個區間元素和即可。11是1011，11-lowbit(11)=10, 10-lowbit(10)=8,跟蹤這個程式正好是圖中描述那樣。
- 更新某個值和求某個區間值是一對逆向操作。
- 求區間[a,b]的和直接呼叫sum(b)-sum(a-1)即可。
例題實戰
1、hdoj 1166
- C國的死對頭A國這段時間正在進行軍事演習，所以C國間諜頭子Derek和他手下Tidy又開始忙乎了。A國在海岸線沿直線佈置了N個工兵營地,Derek和Tidy的任務就是要監視這些工兵營地的活動情況。由於採取了某種先進的監測手段，所以每個工兵營地的人數C國都掌握的一清二楚,每個工兵營地的人數都有可能發生變動，可能增加或減少若干人手,但這些都逃不過C國的監視。
- 中央情報局要研究敵人究竟演習什麼戰術,所以Tidy要隨時向Derek彙報某一段連續的工兵營地一共有多少人,例如Derek問:“Tidy,馬上彙報第3個營地到第10個營地共有多少人!”Tidy就要馬上開始計算這一段的總人數並彙報。但敵兵營地的人數經常變動，而Derek每次詢問的段都不一樣，所以Tidy不得不每次都一個一個營地的去數，很快就精疲力盡了，Derek對Tidy的計算速度越來越不滿:"你個死肥仔，算得這麼慢，我炒你魷魚!”Tidy想：“你自己來算算看，這可真是一項累人的工作!我恨不得你炒我魷魚呢!”無奈之下，Tidy只好打電話向計算機專家Windbreaker求救,Windbreaker說：“死肥仔，叫你平時做多點acm題和看多點演算法書，現在嚐到苦果了吧!”Tidy說："我知錯了。。。"但Windbreaker已經掛掉電話了。Tidy很苦惱，這麼算他真的會崩潰的，聰明的讀者，你能寫個程式幫他完成這項工作嗎？不過如果你的程式效率不夠高的話，Tidy還是會受到Derek的責罵的.
Input
- 第一行一個整數T，表示有T組資料。
- 每組資料第一行一個正整數N（N<=50000）,表示敵人有N個工兵營地，接下來有N個正整數,第i個正整數ai代表第i個工兵營地裡開始時有ai個人（1<=ai<=50）。
- 接下來每行有一條命令，命令有4種形式：
(1) Add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30）
(2)Sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）;
(3)Query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數;
(4)End 表示結束，這條命令在每組資料最後出現;
每組資料最多有40000條命令
Output
- 對第i組資料,首先輸出“Case i:”和回車,
- 對於每個Query詢問，輸出一個整數並回車,表示詢問的段中的總人數,這個數保持在int以內。
Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End
Sample Output
Case 1:
6
33
59
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 50005;
int N, c[maxn];
int lowbit(int x)
{
return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}
// 在第i個數上加上value
void add(int i, int value)
{
while (i<= N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
// 取出前i個元素之和
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
int t, Case = 0;
cin >> t;
while (t--)
{
printf("Case %d:\n", ++Case);
scanf("%d", &N);
memset(c, 0, sizeof(c));
int t;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
scanf("%d", &t);
add(i, t);
}
char command[15];
int x, y;
while (~scanf("%s", command) && command[0]!='E')
{
scanf("%d%d", &x, &y);
if (command[0] == 'Q')
{
int res = sum(y)-sum(x-1);
cout << res << endl;
}
else if(command[0] == 'A')
{
add(x, y);
}
else add(x, -y);
}
}
return 0;
}
2、hdoj 1556
- N個氣球排成一排，從左到右依次編號為1,2,3…N.每次給定2個整數a b(a <= b),lele便為騎上他的“小飛鴿"牌電動車從氣球a開始到氣球b依次給每個氣球塗一次顏色。但是N次以後lele已經忘記了第I個氣球已經塗過幾次顏色了，你能幫他算出每個氣球被塗過幾次顏色嗎？
Input
- 每個測試例項第一行為一個整數N,(N <= 100000).接下來的N行，每行包括2個整數a b(1 <= a <= b <= N)。 當N = 0，輸入結束。
Output
- 每個測試例項輸出一行，包括N個整數，第I個數代表第I個氣球總共被塗色的次數。
Sample Input
3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0
Sample Output
1 1 1
3 2 1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
const int maxn = 100005;
int c[maxn];
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void add(int i, int value)
{
while (i<=N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while(i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
while (scanf("%d", &N) && N!=0) {
int a, b;
memset(c, 0, sizeof(c));
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cin >> a >> b;
add(a, 1); // 將[a,N]區間全加1
add(b + 1, -1); // 將[b+1, N]區間全減一
// 這樣就實現了區間[a,b]上的塗色
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cout << sum(i) << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
3、最後一題來源於csp2017年9月份認證題：除法
問題描述
- 小蔥喜歡除法，所以他給了你N個數a1, a2, ⋯, aN，並且希望你執行M次操作，每次操作可能有以下兩種：
- 給你三個數l, r, v，你需要將al, al+1, ⋯, ar之間所有v的倍數除以v。
- 給你兩個數l, r，你需要回答al + al+1 + ⋯ + ar的值是多少。
輸入格式
- 第一行兩個整數N, M，代表數的個數和操作的次數。
- 接下來一行N個整數，代表N個數一開始的值。
輸出格式
- 對於每一次的第二種操作，輸出一行代表這次操作所詢問的值。
樣例輸入
5 3
1 2 3 4 5
2 1 5
1 1 3 2
2 1 5
樣例輸出
15
14
評測用例規模與約定
- 對於30%的評測用例，1 ≤ N, M ≤ 1000；
- 對於另外20%的評測用例，第一種操作中一定有l = r；
- 對於另外20%的評測用例，第一種操作中一定有l = 1 , r = N；
- 對於100%的評測用例，1 ≤ N, M ≤ 105，0 ≤ a1, a2, ⋯, aN ≤ 106, 1 ≤ v ≤ 106, 1 ≤ l ≤ r ≤ N。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int N;
int a[maxn]; // 存放原始資料
long long c[maxn]; // 存放樹狀陣列
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int i, int value)
{
while (i<=N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
long long sum(int i)
{
long long sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
int M;
cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cin >> a[i];
add(i, a[i]);
}
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int opt, l, r, v;
cin >> opt >> l >> r;
if (opt==2)
{
cout << sum(r)-sum(l-1) << endl;
}
else
{
cin >> v;
if (v==1) continue; // 不處理除以1這種情況會超時
for (int j = l; j <= r; ++j)
{
if (a[j]>=v && a[j]%v==0) // 不加上a[j]>v會超時
{
add(j, -(a[j]-a[j]/v)); // 用加法代替除法a[j]/v = a[j]-(a[j]-a[j]/v)
a[j] = a[j]/v;
}
}
}
}
return 0;
}