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Matlab 奇異值、奇異矩陣、svd函式

阿新 • • 發佈：2018-11-24
奇異值： 奇異值分解法是線性代數中一種重要的矩陣分解法，在訊號處理、統計學等領域有重要應用。 定義：設A為m*n階矩陣，A'表示A的轉置矩陣，A'*A的n個特徵值的非負平方根叫作A的奇異值。記為σi(A)。如果把A‘*A的特徵值記為λi(A‘*A)，則σi(A)＝sqrt(λi(A’*A))。 奇異矩陣：    奇異矩陣是線性代數的概念，就是對應的行列式等於0的矩陣。 奇異矩陣的判斷方法：首先，看這個矩陣是不是方陣（即行數和列數相等的矩陣。若行數和列數不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣）。然後，再看此方陣的行列式|A|是否等於0，若等於0，稱矩陣A為奇異矩陣；若不等於0，稱矩陣A為非奇異矩陣。 同時，由|A|≠0可知矩陣A可逆，這樣可以得出另外一個重要結論:可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。如果A為奇異矩陣，則AX=0有非零解或無解。如果A為非奇異矩陣，則AX=0有且只有唯一零解。
svd設A為m*n階矩陣，A'表示A的轉置矩陣，A'*A的n個特徵值的非負平方根叫作A的奇異值。記為σi(A)。 奇異值分解： 奇異值分解非常有用，對於矩陣A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，滿足A = U*S*V’。U和V中分別是A的奇異向量，而S是A的奇異值。AA'的正交單位特徵向量組成U，特徵值組成S'S，A'A的正交單位特徵向量組成V，特徵值（與AA'相同）組成SS'。因此，奇異值分解和特徵值問題緊密聯絡 。 定理和推論定理： 設A為m*n階復矩陣，則存在m階酉陣U和n階酉陣V，使得：A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。推論：設A為m*n階實矩陣，則存在m階正交陣U和n階正交陣V，使得A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。
說明：1、 奇異值分解非常有用，對於矩陣A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，滿足A = U*S*V’。U和V中分別是A的奇異向量，而S是A的奇異值。AA'的正交單位特徵向量組成U，特徵值組成S'S，A'A的正交單位特徵向量組成V，特徵值（與AA'相同）組成SS'。因此，奇異值分解和特徵值問題緊密聯絡。 2、 奇異值分解提供了一些關於A的資訊，例如非零奇異值的數目（S的階數）和A的秩相同，一旦秩r確定，那麼U的前r列構成了A的列向量空間的正交基。 奇異值分解函式 svd 格式： s = svd (A) %返回矩陣A的奇異值向量      [U,S,V] = svd(A) %返回一個與A同大小的對角矩陣S，兩個酉矩陣U和V，且滿足= U*S*V'。若A為m×n陣，則U為m×m陣，V為n×n陣。奇異值在S的對角線上，非負且按降序排列
    [U1,S1,V1]=svd(X,0) %產生A的“經濟型”分解，只計算出矩陣U的前n列和n×n階的S。說明：1.“經濟型”分解節省儲存空間。2. U*S*V'＝U1*S1*V1'。 [1]矩陣近似值奇異值分解在統計中的主要應用為主成分分析（PCA），它是一種資料分析方法，用來找出大量資料中所隱含的“模式”，它可以用在模式識別，資料壓縮等方面。PCA演算法的作用是把資料集對映到低維空間中去。資料集的特徵值（在SVD中用奇異值表徵）按照重要性排列，降維的過程就是捨棄不重要的特徵向量的過程，而剩下的特徵向量張成空間為降維後的空間。正交矩陣正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。 注意正交矩陣的定義：n階‘實矩陣’ A稱為正交矩陣，如果：A×A′=E（E為單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉置矩陣”。） 若A為正交陣，則下列諸條件是等價的: 1) A 是正交矩陣 2) A×A′=E（E為單位矩陣） 3) A′是正交矩陣 4) A的各行是單位向量且兩兩正交 5) A的各列是單位向量且兩兩正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

  參考： http://moorechia.blog.163.com/blog/static/464070902012040504067/ http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a67b5c50100n3g5.html https://blog.csdn.net/u010555688/article/details/38899331

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