e的實際含義

e是一個重要的常數，但是它的直觀含義卻不像π那麼明瞭。我們都知道，圓的周長與直徑之比是一個常數，這個常數被稱為圓周率，記作π=3.14159…，可是如果我問你，e代表了什麼，你能回答嗎？

不妨先來看看 維基百科 是怎麼說的：

“e是自然對數的底數。”

但是，你去看“ 自然對數 ”這個條目，得到的解釋卻是：

“自然對數是以e為底的對數函式，e是一個無理數，約等於2.718281828。”

這構成了迴圈定義，完全沒有說e是什麼。在這種情況下，數學家選擇這樣一個無理數作為底數，還號稱這種對數很"自然"，這難道不是一件很奇怪的事情嗎？

e是增長極限

到底什麼是e？簡單說來，e就是 增長的極限 。

下面這個例子就是對e直觀含義的極好詮釋:

某種類的一群單細胞生物每24小時全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下，那麼很顯然，這群單細胞生物的總數量每天都會增加一倍。據此我們可以寫出它的增量公式：

growth= 2 ^x x表示天數

這個式子可以改寫成如下的樣子：

growth= (1+100%) ^x 其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內（24小時）的增長率。

根據細胞生物學，每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，平均會新產生一半原數量的新細胞，新產生的細胞在之後的12小時內已經在分裂了。

因此一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段的細胞數量都在前一個階段的基礎上增長50%：

即在一個單位時間內，這些細胞的數量一共可以增至為原數量的2.25倍。

倘若這種細胞每過8小時就可以產生平均1/3的新細胞，新生細胞立即具備獨立分裂的能力，那就可以將1天分成3個階段，在一天內時間細胞的總數會增至為：

即最後細胞數擴大為2.37倍。

實際上，這種分裂現象是不間斷、連續的，每分每秒產生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續分裂，一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢？答案是：

當增長率為100%保持不變時，在單位時間內細胞種群最多隻能擴大2.71828倍。 數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值

這個值是自然增長的極限，是“自然律”的精髓所在，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

你不會自成“大款”——到e為止

有了這個值以後，計算銀行的複利就非常容易。

假定有一家銀行，每年的複利是100%，請問存入100元，一年後可以拿多少錢？

答案是：

但是事實上，儲存利息沒有這麼高，如果複利率只有5%，那麼100元存一年可以拿到多少錢呢：

我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000時，下式的值非常接近e：

為了便於思考，取n等於50：

當利息率是5%時，存款增長率就相當於e的20分之一次方：

1/20正好等於5%，所以我們可以把上式改寫成：

rate表示利率。

再考慮時間因素，如果存款年限t年，那麼存款最終增長率為：

這說明e可以用於任何連續不斷的複合式增長率的計算，而上式也是這個增長率的通用計算公式。

帶著這個結論再回到上面的例子。如果銀行的利息率是5%的複利，求解100元存款翻倍需要多少時間就等價於解下面的方程：

計算結果得13.86年：

可以看到：用72除以增長率就是翻倍的大致時間。這正是經濟學上著名的72法則。

編者按：e是“指數”（exponential）的首字母，也是尤拉名字的首字母。和圓周率π及虛數單位i一樣，e是最重要的數學常數之一。第一次把e看成常數的是雅各布•伯努利，他開始嘗試計算lim（1+1/n） ⁿ 的值，1727年尤拉首次用小寫字母“e”表示這常數，此後遂成標準。

本文來源： 阮一峰的網路日誌

原文出處： http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/