原文連結

1.

    e是一個重要的常數，但是我一直不知道，它的真正含義是什麼。

    它不像π。大家都知道，π代表了圓的周長與直徑之比3.14159，可是如果我問你，e代表了什麼。你能回答嗎？

    維基百科說：

    "e是自然對數的底數。"

    但是，你去看"自然對數"，得到的解釋卻是：

    "自然對數是以e為底的對數函式，e是一個無理數，約等於2.718281828。"

    這就構成了迴圈定義，完全沒有說e是什麼。數學家選擇這樣一個無理數作為底數，還號稱這種對數很"自然"，這難道不是很奇怪的事情嗎？

    2.

    昨天我讀到一篇好文章，它把這個問題解釋得非常清楚，而且一看就懂。

    它說，什麼是e？簡單說，e就是增長的極限。

    下面就是它的解釋。

    3.

    假定有一種單細胞生物，它每過24小時分裂一次。

    那麼很顯然，這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天就是2個，後天就是4個。我們可以寫出一個增長數量的公式：

    上式中的x就表示天數。這種生物在x天的總數，就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣：

    其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內的增長率。

    4.

    我們繼續假定：每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，新產生的那半個細胞已經可以再次分裂了。

    因此，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增長50%。

    當這一天結束的時候，我們一共得到了2.25個細胞。其中，1個是原有的，1個是新生的，另外的0.25個是新生細胞分裂到一半的。

    如果我們繼續修改假設，這種細胞每過8小時就具備獨立分裂的能力，也就是將1天分成3個階段。

    那麼，最後我們就可以得到大約2.37個細胞。

    很自然地，如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行的，新生細胞每分每秒都具備繼續分裂的能力，那麼一天最多可以得到多少個細胞呢？

    當n趨向無限時，這個式子的極值等於2.718281828...。

    因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內最多隻能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

    這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

    5.

    有了這個值以後，計算銀行的複利就非常容易。

    假定有一家銀行，每年的複利是100%，請問存入100元，一年後可以拿多少錢？

    回答就是271.828元，等於100個e。

    但是，實際生活中，銀行的利息沒有這麼高，如果利息率只有5%，那麼100元存一年可以拿到多少錢呢？

    為了便於思考，我們取n等於50：

    我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000所得到的值非常接近e：

    因此，5%利息率就相當於e的20分之一次方：

    20分之一正好等於5%的利率率，所以我們可以把公式改寫成：

    上式的rate就代表增長率。這說明e可以用於任何增長率的計算，前提是它必須是持續不斷的複合式增長。

    6.

    再考慮時間因素，如果把錢在銀行裡存2年，可以得到多少錢？

    在時間t的情況下，通用公式就是：

    上式就是計算增長量的萬能公式，可以適用於任何時間、任何增長率。

    7.

    回到上面的例子，如果銀行的利息率是5%的複利，請問100元存款翻倍需要多少時間？

    計算結果是13.86年：

    上式最後一個等號，表明用72除以增長率，可以得到翻倍的大致時間，這就是72法則的來源。

    (完)