B-樹：

    一種適合外查詢的平衡多叉樹（有些地方寫的是B-樹，注意不要誤讀 成"B減樹"） 。

M階的B樹滿足如下性質：

    1、根節點至少有兩個孩子；

    2、每個非根節點有[[M/2],M]個孩子；

    3、每個非根節點有[[M/2],M-1]個關鍵字，並且以升序排列；

    4、key[i]和key[i+1]之間的孩子節點的值介於key[i]和key[i+1]之間；

    5、所有的葉子節點都在同一層。

M階的B樹----M=3

插入：

        如果插入值後，該節點的關鍵字的個數大於規定的要求，則需要調整，即分裂（新建立一個節點，把位於關鍵字序列中的中位數（不包含中位數）以後的值包括子樹都拷貝到新建的節點中，將中位數提出成樹的根節點，中位數以前的值將成為中位數的左子

樹，後半部分成為右子樹），如下圖：

應用：運用於資料庫和檔案系統。

具體實現程式碼如下：

#pragma once

//使用外查詢的平衡多叉樹

//性質：

//    1、根節點至少有兩個孩子

//    2、每個非根節點有[[M/2],M]個孩子

//    3、每個非根節點有[[M/2],M-1]個關鍵字，並且以升序排列

//    4、key[i]和key[i+1]之間的孩子節點的值介於key[i]和key[i+1]之間

//    5、所有的葉子節點都在同一層

template<class K,int M>//B數一個節點的結構

struct BTreeNode

{

K _key[M];//關鍵字的個數為M-1，多留一個位置可以更加方便的求取中位數

BTreeNode<K,M>* _subs[M+1];//方便插入時分裂，子樹的最大個數為M個，關鍵字比他少一個

BTreeNode<K,M>* _parent;//指向父親節點

size_t _size;//陣列中存放的有效關鍵字的個數

BTreeNode()

:_parent(NULL)

,_size(0)

{

for(int i = 0;i < M+1;++i)

{

_subs[i] = NULL;

}

}

};

template<class K,class V>//需要返回兩個引數，使用結構體

struct Pair

{

K _first;

V _second;

Pair(const K& key = K(),const V& value = V())//預設引數，會呼叫預設建構函式

:_first(key)

,_second(value)

{ }

};

template<class K,int M>

class BTree

{

typedef BTreeNode<K,M> Node;

public:

BTree()

:_root(NULL)

{ }

Pair<Node*,int> Find(const K& key)//查詢

{

if(_root == NULL)

return Pair<Node*,int>(NULL,-1);

Node* parent = NULL;

Node* cur = _root;

while (cur)

{

int index = 0;

while (index < cur->_size)

{

if(key == cur->_key[index])

{

return Pair<Node*,int>(cur,index);

}

else if(key < cur->_key[index])

{

break;

}

else

{

index++;

}

}

parent = cur;

cur = cur->_subs[index];

}

return Pair<Node* ,int>(parent,-1);

//找完也沒找到，為了使得該情況下方便插入節點，因此返回panrent，插入節點插入在parent上

}

bool Insert(const K& key)//插入

{

//當前無節點

if(_root == NULL)

{

_root = new Node;//開闢一個新的節點

_root->_key[0] = key;

_root->_subs[0] = NULL;

_root->_parent = NULL;

_root->_size++;

return true;

}

Pair<Node*,int> cur = Find(key);

if(cur._second != -1)//找到，則返回false，不插入重複關鍵字

{

return false;

}

//在節點cur中插入key和sub

Node* str = cur._first;

K newKey = key;

Node* sub = NULL;

while (1)

{

_InsertKey(str,newKey,sub);

if(str->_size < M)//關鍵字的數量小於M，則正確，直接返回

return true;

//插入資料後，該節點的關鍵字的個數大於規定的數量，需要調整，進行分裂

int mid = (str->_size - 1)/2;

int index = 0;

Node* temp = new Node;

//先拷貝下標為mid後的關鍵字

for(size_t i = mid + 1;i < str->_size;i++)

{

temp->_key[index++] = str->_key[i];

temp->_size++;

str->_key[i] = 0;

}

//接著拷貝下標為mid的關鍵字的sub

index = 0;

for(size_t i = mid + 1;i <= str->_size;i++)

{

temp->_subs[index++] = str->_subs[i];

if(str->_subs[i] != NULL)

str->_subs[i]->_parent = temp;

}

//更改str的大小

str->_size = (str->_size - 1)/2;

if(str->_parent == NULL)

{

_root = new Node;

_root->_key[0] = str->_key[mid];

str->_key[mid] = 0;

_root->_subs[0] = str;

_root->_subs[1] = temp;

_root->_size = 1;

str->_parent = _root;

temp->_parent = _root;

return true;

}

else

{

newKey = str->_key[mid];

str->_key[mid] = 0;

sub = temp;

str = str->_parent;

}

}

}

void InOrder()

{

_InOrder(_root);

cout<<endl;

}

protected:

void _InsertKey(Node* cur,const K& key,Node* sub)

{

int index = cur->_size - 1;

while (index >= 0 && cur->_key[index] > key)//若插入的節點比改位置的值小，則需要移位

{

cur->_key[index+1] = cur->_key[index];

cur->_subs[index+2] = cur->_subs[index+1];

--index;

}

//否則，直接插入

cur->_key[index + 1] = key;

cur->_subs[index+2] = sub;

if(sub != NULL)

sub->_parent = cur;

cur->_size++;

}

void _InOrder(Node* root)

{

if(root == NULL)

return;

for(int i = 0;i < root->_size;i++)

{

_InOrder(root->_subs[i]);

cout<<root->_key[i]<<" ";

}

_InOrder(root->_subs[root->_size]);

}

protected:

Node* _root;

};

void BTreeTest()

{

BTree<int,3> tree;

int a[] = {53,75,139,49,145,36,101};

for(int i = 0;i < sizeof(a)/sizeof(a[i]);i++)

{

tree.Insert(a[i]);

}

tree.InOrder();

}

執行結果：