【說明】部落格內容選自課件內容

目錄

1．B-樹的定義

B-樹是一種滿足以下特性的m叉動態搜尋樹：

1）根結點至少有兩個子樹；

2）除根結點外，所有內部結點至少有⌈m/2⌉ 個子樹，最多有 m 棵子樹；

3）所有外部結點位於同一層上；

(1). 多叉特性

  在 m 階的B-樹上，每個內部結點可能含有：

n 個關鍵字 Ki（1≤ i≤n） ⌈m/2⌉ -1≤n≤m-1

n+1 個指向子樹的指標 Ai（0≤i≤n）;

(2). 查詢特性

l內部結點中的多個關鍵字均從小到大有序排列,即：K1< K2 < … < Kn;

l A

l Ai 所指子樹上所有關鍵字均大於Ki;

(3). 平衡特性

l樹中所有葉子(外部)結點均在樹的同一層次上;

l根結點或為葉子結點，或至少含有兩棵子樹;

l其餘所有非葉結點均至少含有ém/2ù棵子樹，至少⌈m/2⌉-1個關鍵字，至多含有 m 棵子樹;

2.查詢演算法：

從根結點出發，沿指標搜尋內部結點和在結點內進行順序（或折半）查詢 兩個過程交叉進行。

l若查詢成功，則返回指向被查關鍵字所在結點的指標和關鍵字在結點中的位置

l 若查詢不成功，則返回插入位置。

3．插入操作

在查詢不成功之後，需進行插入。顯然，關鍵字插入的位置 p 必定在

1）若  p 為空，則建新的根結點。

2）插入後，該結點的關鍵字個數n<m，不修改指標;

3）插入後，該結點的關鍵字個數 n=m，則需進行“結點分裂”。

令 s = ⌈m/2⌉，假設插入後的原結點中:（A0, K1, …, Ks-1，As-1 , Ks,  As, Ks+1,… Km, Am ）

則在原結點中保留：（A0，K1，。。。， Ks-1，As-1）；

並建新結點（As，Ks+1，。。。    ，Km，Am）；

然後將 Ks 插入p的雙親結點；

4．刪除操作

與插入相反，首先必須找到待刪除關鍵字所在結點，並刪除之。刪除分兩種情況:

1.所刪的

此時又有三種可能：

1）被刪關鍵字所在結點的關鍵字數目大於⌈m/2⌉-1，則只需刪除該關鍵字和相應指標；

2)  被刪關鍵字所在結點關鍵字數目等於⌈m/2⌉-1，且該結點相鄰的左（右）兄弟結點中的關鍵字大於⌈m/2⌉-1,則將其兄弟結點中的最小（最大）的關鍵字上移至雙親結點中，將雙親結點中小於（大於）且緊靠該上移關鍵字的關鍵字下移至被刪關鍵字所在結點中。

3)  被刪關鍵字所在結點和其相鄰的左(右)兄弟結點中的關鍵字數目均等於⌈m/2⌉－1。則在刪除關鍵字之後，將它所在結點中剩餘的關鍵字，加上雙親結點中的相應關鍵字，合併到左(右)兄弟結點中。如果因此使雙親結點中的關鍵字數目小於ém/2ù－1 ，則依次作相應處理。

2. 所刪結點不是最下層的內部結點;

     設所刪關鍵字為Ki，則以指標Ai所指子樹中的最小關鍵字Y替代Ki ，然後刪除相應結點中的Y ；

5．查詢效能的分析

問題：含 N 個關鍵字的 m 階 B-樹可能達到的最大深度 H 為多少？

反問： 深度為H的m階 B-樹中，至少含有多少個結點？

先推導每一層所含最少結點數：

問題：如果B- 樹中含有 N 個關鍵字，則葉子結點的個數為?N+1

假設 m 階 B-樹的深度為 H+1，由於第 H+1 層為葉子結點，所以深度為 H+1的m階B-樹的葉子結點至少為2*⌈m/2⌉ ^H-1

 因此： N+1≥2(⌈m/2⌉)H-1

             H-1≤log⌈m/2⌉((N+1)/2)

             H≤log⌈m/2⌉ ((N+1)/2)+1

結論：在含 N 個關鍵字的m階B-樹上進行一次查詢，需訪問的結點個數不超過log ⌈m/2⌉  ((N+1)/2)+1

疑惑：B-樹中的關鍵字到底指的是什麼？為什麼葉子節點的個數比關鍵字的個數多一？（之後學習會說明我的問題）