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    平時接觸C及Java較多，這種層次的語言對資料的表示有一定侷限。基本的資料型別無外呼整數和浮點數。整數好說，一般僅需考慮越界問題。但對於浮點數，除了範圍外，通常很容易忽略精度問題。

        浮點數為什麼會有精度問題？計算機中的浮點數對應於數學當中的小數。簡單計算下，32位浮點數最多可以表示2^32個數，但從數學上說區間[0,1]中的小數就有無窮多個。所以計算機是不可能描述得盡的，必然會有一些近似，也就帶來了精度損失。

        所以在使用計算機中的浮點數之前，我們先要搞清楚計算機表示小數有多準。

浮點數標準

        考慮這個問題，首先要知道浮點數在計算機中是怎麼表示的。當前，計算機中浮點數採用的是IEEE 754標準。浮點數分為單精度浮點數(32位)和雙精度浮點數(64位)。浮點數的基本格式如下：

各部分含義如下：

sign：符號位，0表示正，1表示負

exponent：階碼，浮點數的冪次。一般採用移碼錶示。

fraction：浮點數的小數部分  (理解：不管十進位制的整數or小數，都要表示成2進位制，是1.開頭的小數，通過指數的大小，控制小數點的位移)

        上述格式描述的浮點數的十進位制值為V=(-1)^SX(1.fraction)X2^E。其中(-1)^S表示符號，1.fraction是二進位制的小數，2^E表示冪次，類似於二進位制的科學計數法。由於除0外的所有小數都可以寫成1.fractionX2^E的形式，因而，在表示浮點數時，省略掉了前面的整數部分1.

        對於單精度浮點數，S是1位，E是8位，小數部分是23位。對於雙精度浮點數，S是1位，E是11位，小數部分是52位。指數部分E有正負性，使用移碼錶示。8位E要表示正負，一般減去127，23位則是減去1023。例如，實際的小數指數部分是0的話，在單精度浮點數表示中，E部分是127.

        上面描述的是規格化的浮點數，如果浮點數的階碼部分全0或者全1，則表示非規格化的浮點數。

（1）階碼不是全0或全1，規格化浮點數。

（2）階碼全0：表示0.fractionX2^-126次。注意，此時指數部分是1-127.這一類表示了接近0的小數部分。

（3）階碼全1：如果小數部分全0，表示正負無窮大。如果出現1，表示不是一個數（NaN）。

浮點數精度

        通過上面的介紹可以發現，浮點數的精度取決於二進位制小數部分的精度。對於單精度浮點數，小數部分有23位，對應十進位制小數見下表：

        由於是規格化的浮點數，所以小數部分都要加上1，可以知道，單精度浮點數的小數部分最小是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，注意到這兩個小數之間是有間隔的，如果要表示1.0000001和1.0000002之間的小數，則單精度浮點數無能為力，1.0000001已經是23位小數部分描述的最小值了。通過這樣的分析可以發現，23位只能描述到小數點後第7位，即1.0000001，1.0000002，1.0000004，1.0000009對應了二進位制的小數值，其他要通過上面幾個的組合來表示。

        事實上，如果考慮第八位的舍入，1.0000004，1.0000009本身的表示也是不準確的。為了驗證這一點，通過程式將1.0000001到1.0000009的結果均打印出來，得如下：

        程式中直接將1.0000001到1.0000009分別賦給float型變數，左邊一列是輸出時小數點後保留7位的結果，右邊是保留了25位的結果。

        通過上面的結果可以發現，小數點後第7位是部分準確的。例如，1.0000004就是1.00000035通過得到的，其實際儲存和1.0000003相同。1.0000006也是通過舍入得到的。再往前第6位及以後均可以通過小數準確表示出來。通常說float資料的有效位是6~7位，也是這個原因。

        類似的分析，雙精度浮點數小數部分有52位，和上面類似，最低6位(2^-52,2^-51,......)表示的規格化小數如下所示。從圖中可以看出，雙精度浮點數能準確表示到小數點後第15位，第16位部分準確。

整數轉化為浮點數

        那麼如果一個整數用float來儲存，儲存的精度有多少呢？首先，我們需要將整數轉化為二進位制科學計數法形式，然後再對應到規格化浮點數中。在處理小數部分時，多餘的數位即為損失的精度。

        可以測試二進位制整數1000 0000 0000 0000 0000 0001，即小數點後面剛好23位。下圖展示了小數點後23位、24位及0位的輸出結果。只有小數點後24位這一種情況資料表示是不準確的，雖然損失的小數點後第24位，但在科學計數法的前提下，真實值相差為1.

        由此可以確定，從1到0xFFFFFF(24位全1，16777215)的整數均可以表示為不超過24位的二進位制整數，小數部分不超過23位，因而可以準確的用浮點數表示。還有一部分整數，在表示為二進位制的科學計數法時，小數部分不超過23位，也可以準確表示，除此外，其他整數，轉化為float後均會損失精度。

        一般來說，無論是整數或者小數，用float表示時，從左邊第一個非0的數字算起，從高到低的7位是準確的。此後的數位是不能保證精確的。

        相應的，從1到0x1FFFFFFFFFFFFF(53位全1，18014398509481983)均可以準確用double來表示。其他整數，只有在轉化為double時小數部分不超過52位才可以精確表示。否則，會有一定的精度損失。無論整數或者小數，用double表示時，從左邊第一個非0的數字起，從高到低的16位是準確的，此後的數位不一定精確。

浮點數分佈

        通過上面的分析可以發現，儘管浮點數表示的範圍很廣，但由於精度損失的存在，加上冪次的放大作用，一個浮點數實際上是表示了周圍的一個有理數區間。如果將浮點數繪製到一個數軸上，直觀上看，靠近0的部分，浮點數出現較密集。越靠近無窮大，浮點數分佈越稀疏，一個浮點值代表了周圍一片資料。如下圖所示。從這個意義上來說，浮點數不宜直接比較相等，它們是代表了一個數據範圍。實際應用中，如果要使用浮點數計算，一定要考慮精度問題。在滿足精度要求的前提下，計算結果才是有效的。 

        在計算精度要求情形下，例如商業計算等，應該避免使用浮點數，嚴格採取高精度計算。

        本文分析到此結束。主要想告訴讀者浮點數在什麼時候使用是可靠的，在什麼時候使用會出現精度問題。歡迎大家討論。