點集配準—CPD(Coherent Point Drift)

問題引入

給定兩個點集，如何將兩個點集進行配準，也就是對齊兩個點集，找到相互對應的點。在低維、‘乾淨’的資料集中下可以嘗試許多其他的方法。當資料的維度持續增長，幷包含噪音或者冗餘點時，問題就變得複雜了。

我們的目的是給定一個點集，在另一個點集中找到其對應點。如果將這種對應看成是一種概率，真正的對應點概率為1，錯誤的對應點概率值為0，當然，這是最理想的情況。也就是說， 我們可以使用一個概率值了描述這種對應關係，概率值越大，這種對應關係的確定性也就越大。既然涉及到了概率，那麼就就會考慮到概率模型：均勻分佈、二項分佈、正態分佈等。因此，需要選擇一個正確的模型來描述這種對應關係。如果針對一個點與一個點的對應關係， 可以使用正態分佈(高斯分佈)來描述，那個當存在多個點時，恰好可以使用混合高斯模型(GMM: Gaussian Mixture Model)來進行描述。

此時，將兩個點集的配準問題轉化成一個概率密度估計的問題。也即是求解混合高斯模型的引數問題。

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問題定義

給定兩個點集 ${\mathbf{X}}_{\mathbf{D}\times \mathbf{N}}=\{$

x 1 , x 2 , ⋯   , x

N } \bold{X_{D\times N} }= \{x_1, x_2, \cdots, x_N\} , $\bold{Y_{D\times M} }= \{x_1, x_2, \cdots, x_M\}$，點集的維度是 $D$, 兩個點集之間的變換關係 $\bold X = \Tau(Y, \theta)$。假定以點集 $Y$為GMM的各個分模型(高斯模型的中心), $X$中的資料點就可以看成是由該模型生成的資料點。此時，GMM的概率密度函式可以寫成：
$\begin{aligned} p(\bold x) &= \sum_{m=1}^{M}P(m)p(\bold x|m) \\ p(\bold x|m) &= \frac{1}{(2\pi \sigma ^2)^{D/2}}exp^{-\frac{||x-y_m||_2^2}{2\sigma^2}} \end{aligned}$

考慮到資料中存在噪音或者冗餘點或異常值，即 $N \neq M$, 此時，可以引入一個額外的均勻分佈：
$p(\bold x | M+1) = \frac{1}{N}$
結合兩種概率分佈，使用一個引數 $\omega$對兩種分佈進行加權後的完整概率密度函式為：
$p(\bold x) = \sum_{m=1}^{M+1}P(m)p(\bold x|m) = \omega \frac{1}{N} + (1 - \omega) \frac{1}{M}p(\bold x | m)$

假定每個資料點都獨立同分布，此時似然函式可以寫作：
$\begin{aligned} L(\theta, \sigma^2) &= \prod_{i=1}^{N}p(x_i) = \prod_{i=1}^{N} \sum_{m=1}^{M+1}P(m)p(x_i|m)\\ \ell (\theta, \sigma^2) &= \log \prod_{i=1}^{N}p(x_i) \\ &=\log \prod_{i=1}^{N} \sum_{m=1}^{M+1}P(m)p(x_i|m) \\ &=\sum_{i=1}^{N}\log \sum_{m=1}^{M+1}P(m)p(x_i|m) \end{aligned}$