薄板樣條插值—TPS(Thin Plate Spline)

插值

已知一系列的觀測點 $({\mathbf{x}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}})$

TPS

薄板樣條的插值函式形式如下：
$\begin{aligned} \Phi(\bold x) &= \bold {c + a^Tx + w^Ts(x)} \\ \bold {s(x)} &= \bold{(\sigma(x - x_1), \sigma(x - x_2), \cdots, \sigma(x - x_n))^T } \\ \sigma(\bold x) & = \bold {||x||_x^2\log||x||_x^2}\\ \end{aligned}$

其中, $\bf c \in \mathbb R^{1\times 1} ,\bf a \in \mathbb R^{D \times 1}, w \in \mathbb R^{N\times 1}$。 從中可以看出，該函式的輸出值是一個標量，也就是說，如果要針對多個維度進行插值，需要求解多個插值函式。該插值函式總共存在 $N+D+1$個引數。 而每個觀測點都能提供一個如下的約束，共 $N$個約束條件。
$y_k = \Phi(x_k)$
在認為新增 $D+1$個約束條件：
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{K}w_k &= 0 \\ \sum_{k=1}^{K}w_k {\bf x}_k^{1} &= 0 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{K}w_k {\bf x}_k^{D} &= 0 \\ \end{aligned}$

令：