Cubic spline（三次樣條插值）（轉載）

阿新 • • 發佈：2019-01-12

轉自：http://blog.csdn.net/lsxpu/article/details/38849775

自己以前上過數值分析這門課，用的是[1]這本教材，三次樣條插值這一節，當時似乎看明白了，但在實際碰到它時，總覺得很神祕，也很心虛。過了好幾年之後，想徹底理解這個cubic spline，就翻開以前的書看，看了老半天才看明白，上面寫著很多亂七八糟的公式（當然也是有意義的），應該會像以前很快忘掉它們。之前看過Andrew NG寫過的機器學習講義，上面把各個公式娓娓道來，感覺很自然，也就理解的更深。於是乎，自己就在網上找老外是怎麼講這個的，[3]wiki百科也講的迷迷糊糊的，後來搜到[2]，直接醍醐灌頂。

已知函式 $y=f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的 $n+1$ 個節點

$a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$

上的值 $y_{i} = f(x_{i})(i = 0, 1, \cdots, n)$ ，求插值函式 $S(x)$ ，使得:

$S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$ ；
在每個小區間 $[x_{j-1}, x_{j}](j = 1, 2, \cdots, n)$ 上 $S(x)$ 是三次多項式，記為 $C_{j}(x)$ ；
$S(x)$ 在 $[a, b]$ 上二階連續可微，

則函式 $S(x)$ 稱為 $f(x)$ 的三次樣條插值函式，

$S(x) = \left\{\begin{array}{ll}C_{1}(x), & x_{0}\leq x \leq x_{1}\\ C_{i}(x), &x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\\ C_{n}(x), & x_{n-1} \leq x \leq x_{n}\end{array}\right.$

其中 $C_{i}$ 是三次方函式，具有如下形式：

$C_{i}(x) = \alpha_{i}+b_{i}x+c_{i}x^{2}+d_{i}x^{3}$

因此只要確定了這些係數 $\alpha_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}$ ，就計算出了 $S(x)$ ，一共有 $4n$ 個係數需要確定。

首先根據 $S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$ ，可得：

$C_{i}(x_{i-1}) = y_{i-1}$ and $C_{i}(x_{i}) = y_{i}$

則可得到 $2n$ 個方程：

$\alpha_{i}+b_{i}x_{i-1}+c_{i}x_{i-1}^{2}+d_{i}x_{i-1}^3=y_{i-1}$ and $\alpha_{i}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i}^{2}+d_{i}x_{i}^{3}=y_{i}$

另外根據 $S(x)$ 在 $[a, b]$ 上二階連續可微，我們需要在點 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}$ 上：

$C_{i}^{'}(x_{i})=C_{i+1}^{'}(x_{i})$

$C_{i}^{''}(x_{i})=C_{i+1}^{''}(x_{i})$

這兩個方程可以寫成：

$b_{i}+2c_{i}x_{i}+3d_{i}x_{i}^{2}=b_{i+1}+2c_{i+1}x_{i}+3d_{i+1}x_{i}^{2}$

$2c_{i}+6d_{i}x_{i}=2c_{i+1}+6d_{i+1}x_{i}$

這裡有 $2(n-1)$ 個方程，加上之前的 $2n$ 個，目前總共有 $4n-2$ 個方程，而未知量有 $4n$ 個，這時就需要邊界條件來提供兩個方程，常用的邊界條件有以下三種：

給定兩端點處的導數值, $S^{'}(a)=y_{0}^{'}$ $S^{'}(b)=y_{n}^{'}$ 。特別地，當 $y^{'}_{0}=y_{n}^{'} = 0$

時，樣條曲線在端點處呈水平狀態。
給定兩端點處的二階導數值 $S^{''}(a)=y_{0}^{''}$ , $S^{''}(b)=y_{n}^{''}$ 。特別地，當 $y^{''}_{0}=y_{n}^{''} = 0$ 時，稱為自然邊界條件。
如果 $f(x)$ 是以 $b-a$ 為週期的周期函式，則 $S(x)$ 也應該是具有同樣週期的周期函式，在端點處需要滿足 $S^{'}(a+0)=S^{'}(b-0)$ ， $S^{''}(a+0)=S^{''}(b-0)$