Opencv 三次樣條曲線(Cubic Spline)插值

1.樣條曲線簡介

樣條曲線(Spline)本質是分段多項式實函式，在實數範圍內有：S:[a,b]→R，在區間[a,b]上包含k個子區間[ti−1,ti]，且有：

a=t0<t1<⋯<tk−1<tk=b(1)

對應每一段區間i的存在多項式： Pi:[ti−1,ti]→R，且滿足於：

S(t)=P1(t) , t0≤t<t1,S(t)=P2(t) , t1≤t<t2,⋮S(t)=Pk(t) , tk−1≤t≤tk.(2)

其中，Pi(t)多項式中最高次項的冪，視為樣條的階數或次數（Order of spline），根據子區間[ti−1,ti]的區間長度是否一致分為均勻（Uniform）樣條和非均勻（Non-uniform）樣條。

滿足了公式(2)的多項式有很多，為了保證曲線在S區間內具有據夠的平滑度，一條n次樣條，同時應具備處處連續且可微的性質：

P(j)i(ti)=P(j)i+1(ti);(3)

其中 i=1,…,k−1;j=0,…,n−1。

2.三次樣條曲線

2.1曲線條件

按照上述的定義，給定節點：

t:z:a=t0z0<t1z1<⋯⋯<tk−1zk−1<tkzk=b(4)

三次樣條曲線滿足三個條件：

在每段分段區間[ti,ti+1],i=0,1,…,k−1上，S(t)=Si(t)都是一個三次多項式；
滿足S(ti)=zi,i=1,…,

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