2. 程式人生 > >再談資料結構（二）數和二叉樹

再談資料結構（二）數和二叉樹

阿新 • • 發佈：2018-11-29

1 - 引言

關於樹和二叉樹，我們需要達到的能力有：

  • 熟悉樹和二叉樹的有關概念
  • 熟悉二叉樹的性質
  • 熟練掌握遍歷二叉樹的遞迴演算法，並靈活運用
  • 遞迴遍歷二叉樹及其應用

本文著重在樹和二叉樹實際應用與程式碼實現基本操作，對概念就不再贅述

2 - 二叉樹的儲存結構

2.1 - 順序儲存結構

二叉樹可以用陣列儲存，編號i的節點存放在[i-1]處，適合於儲存完全二叉樹

讓我們看一道例題來感受一下用陣列怎麼使用二叉樹。
例題2-1　小球下落（Dropping Balls, UVa 679）
有一棵二叉樹，最大深度為D，且所有葉子的深度都相同。所有結點從上到下從左到右
編號為1, 2, 3,…, 2D-1。在結點1處放一個小球，它會往下落。每個內結點上都有一個開關，
初始全部關閉，當每次有小球落到一個開關上時，狀態都會改變。當小球到達一個內結點
時，如果該結點上的開關關閉，則往左走，否則往右走，直到走到葉子結點，如圖所
示。
在這裡插入圖片描述

一些小球從結點1處依次開始下落，最後一個小球將會落到哪裡呢？輸入葉子深度D和
小球個數I，輸出第I個小球最後所在的葉子編號。假設I不超過整棵樹的葉子個數。D≤20。
輸入最多包含1000組資料。
樣例輸入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
樣例輸出：
12
7
512
3
255
36358

【分析】
這道題目是一道簡單的構造二叉樹的題目，然後只需加入開關判斷是進入左子樹還是右子樹即可。
在使用陣列構建二叉樹的時候，我們要清楚的知道二叉樹的基本性質

  1. 二叉樹的第i層上至多有 2
    i − 1 2^{i-1}     個結點。
  2. 深度為k的二叉樹至多有 2 k
    − 1 2^k-1     個結點
  3. 葉子結點 n 0 n_0 ,度為2的結點為 n 2 n_2 ，則 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1
  4. n個結點的完全二叉樹深度為 ⌊ l o g n ⌋ + 1 \left \lfloor logn \right \rfloor+1
  5. n個結點的完全二叉樹，節點按層次編號
    有：i的雙親是 ⌊ n / 2 ⌋ + 1 \left \lfloor n/2\right \rfloor+1 ，如果i=1時為根（無雙親）；
    i的左孩子是2i，如果2i>n，則無左孩子
    i的右孩子是2i+1，如果2i+1>n則無右孩子。
    在知道這些性質之後，我們不難寫出一個數組二叉樹來模擬題目操作
#include<cstdio>
#include<string>
const int maxd = 20;
int s[1 << maxd];	//最大節點個數為2^maxd-1
int main()
{
	int D, I;
	while(scanf_s("%d%d",&D,&I)==2){
		memset(s, 0, sizeof(s));	//初始化開關
		int k, n = (1 << D) - 1;	//n是最大節點編號
		for(int i = 0;i<I; i++){	//連續讓I個小球下落
			k = 1;
			for(;;){
				s[k] = !s[k];
				k = s[k] ? k * 2 : k * 2 + 1;	//根據開關狀態選擇下落方向
				if (k > n) break;	//已經落“出界了”
			}
		}
		printf("%d\n", k / 2);	//“出界”之前的葉子編號
	}
	return 0;
}

在這裡插入圖片描述

2.2 - 二叉樹的鏈式結構

但是在實際操作中，我們用的更多的是鏈式結構來生成二叉樹
首先讓我們來看一下二叉樹結點的連結串列結構定義：

typedef struct BTNode{
	int data;
	struct BTNode *lchild;
	struct BTNode *rchild;
	
}BiTNode,*BiTree;

在定義了結點後，我們就可以使用這個結構來構建二叉樹，並且對二叉樹進行基本的操作和訪問。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>

using namespace std;
typedef struct BTNode{
	int data;
	struct BTNode *lchild;
	struct BTNode *rchild;
	
}BiTNode,*BiTree;

int CreateBiTree(BiTree *T){
	int ch;
	cin >> ch;
	if(ch == -1)
	{
		*T = NULL;
		return 0;
	}
	else
	{
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		if(T == NULL)
		{
			printf("failed\n");
			return 0;
		}
		else
		{
			(*T)->data = ch;
			printf("輸入%d的左子節點：",ch);
			CreateBiTree(&((*T)->lchild));
			printf("輸入%d的右子節點：", ch);
			CreateBiTree(&((*T)->rchild));
		}
	}
	return true;
}

void PreOrderBiTree(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		printf("%d ", T->data);
		PreOrderBiTree(T->lchild);
		PreOrderBiTree(T->rchild);
	}


}
void MiddleOrderBiTree(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		
		MiddleOrderBiTree(T->lchild);
		printf("%d ", T->data);
		MiddleOrderBiTree(T->rchild);
	}


}
void PostOrderBiTree(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		
		PostOrderBiTree(T->lchild);
		PostOrderBiTree(T->rchild);
		printf("%d ", T->data);
	}


}
int main()
{

	BiTree T;
	cout << "請輸入根節點：\n";
	CreateBiTree(&T);
	printf("先序遍歷二叉樹：");
	PreOrderBiTree(T);
	printf("\n");
	printf("中序遍歷二叉樹：");
	MiddleOrderBiTree(T);
	printf("\n");
	printf("後序遍歷二叉樹：");
	PostOrderBiTree(T);
	printf("\n");
	return 0;

}

讓我們將上圖的二叉樹輸入這個程式觀察輸出結果（輸入時，當結點沒有子節點則輸入-1）
在這裡插入圖片描述
下面讓我們看一道例題如何使用層遍歷
樹的層次遍歷（Trees on the level, Duke 1993, UVa 122）
輸入一棵二叉樹，你的任務是按從上到下、從左到右的順序輸出各個結點的值。每個結
點都按照從根結點到它的移動序列給出（L表示左，R表示右）。在輸入中，每個結點的左
括號和右括號之間沒有空格，相鄰結點之間用一個空格隔開。每棵樹的輸入用一對空括
號“()”結束（這對括號本身不代表一個結點），如圖所示。
在這裡插入圖片描述
注意，如果從根到某個葉結點的路徑上有的結點沒有在輸入中給出，或者給出超過一
次，應當輸出-1。結點個數不超過256。

樣例輸入：

(11,LL) (7,LLL) (8,R) (5,) (4,L) (13,RL) (2,LLR) (1,RRR) (4,RR) ()

(3,L) (4,R) ()

樣例輸出：

5 4 8 11 13 4 7 2 1

-1

【分析】

  • 1.用結構連結串列來建樹

  • 2.用佇列來實現層次遍歷，當遍歷到根節點時，將其子節點壓入佇列

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstdio>
using namespace std;

//樹結點
struct Node{
    int v ;
    Node* left,*right ;
    int have_value ;
    Node():have_value(false),left(NULL),right(NULL){} ;
} ;

Node* root ;//根節點

Node* newnode(){
    return new Node() ; //返回一個新結點
}

bool failed ;

void addnode(int v,char* s){//新增新結點
    int n = strlen(s);
    Node* u = root ;
     for(int i = 0;i < n;i++)//找到要加入的位置
     {
         if(s[i] == 'L'){
             if(u->left == NULL) u->left = newnode();
             u = u->left;
         }
         else if(s[i] == 'R'){
             if(u->right == NULL) u->right= newnode();
             u = u->right ;
         }
     }
     if(u->have_value) failed = true ;//是否已經被訪問過；
     u->v = v;
     u->have_value = true;
}

void freetree(Node* u){ //釋放記憶體
    if(u == NULL) return ;
    freetree(u->left);
    freetree(u->right);
    delete u;
}

char s[1005];
bool read_input(){
    failed = false ;
    freetree(root) ;
    root = newnode();
    while(true){
        if(scanf("%s", s) != 1) return false;
        if(!strcmp(s,"()")) break;
        int v ;
        sscanf(&s[1],"%d",&v);
        addnode(v,strchr(s,',')+1);
    }
    return true ;
}

bool bfs(vector<int>& ans){//搜尋
    queue<Node*> q;
    ans.clear();
    q.push(root);
    while(!q.empty()){
        Node *u = q.front();q.pop();
        if(!u->have_value) return false;
        ans.push_back(u->v);
        if(u->left != NULL)    q.push(u->left);
        if(u->right != NULL) q.push(u->right);
    }
    return true ;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    vector<int> ans;
    while(read_input()){
        if(!bfs(ans)) failed = 1;
        if(failed) printf("not complete\n");
        else{
            for(int i = 0;i < ans.size();i++)
            {
                if(i != 0) cout << " " ;
                   cout << ans[i];
            }
            cout << endl ;
        }
    }
    return 0;
}

在這裡插入圖片描述

相關推薦

再談資料結構（一）：棧和佇列

1 - 前言 棧和佇列是兩種非常常用的兩種資料結構，它們的邏輯結構是線性的，儲存結構有順序儲存和鏈式儲存。在平時的學習中，感覺雖然棧和佇列的概念十分容易理解，但是對於這兩種資料結構的靈活運用及程式碼實現還是比較生疏。需要結合實際問題來熟練佇列和棧的操作。 2 - 例題分析 2.1

再談資料結構（四）：排序與查詢

1 - 引言 雖然C++中的STL庫中提供了許多排序和查詢的方法。但是我們還是需要了解一下排序和查詢內部的原理，下面讓我們學習一下各類排序與查詢演算法 2 - 歸併排序 第一種高效的排序演算法是歸併排序,按照分治三步法，對歸併排序演算法介紹如下： 劃分問題：把序列分成

再談資料結構（三）圖

1 - 引言 圖（Graph）描述的是一些個體之間的關係。與線性表和二叉樹不同的是：這些個體之 間既不是前驅後繼的順序關係，也不是祖先後代的層次關係，而是錯綜複雜的網狀關係。 圖也是資料結構中經常使用的一種結構，讓我們來學習一下使用圖的演算法吧 2 - 用DFS求連通塊 例題

再談資料結構（二）數和二叉樹

1 - 引言 關於樹和二叉樹，我們需要達到的能力有： 熟悉樹和二叉樹的有關概念 熟悉二叉樹的性質 熟練掌握遍歷二叉樹的遞迴演算法，並靈活運用 遞迴遍歷二叉樹及其應用 本文著重在樹和二叉樹實際應用與程式碼實現基本操作，對概念就不再贅述 2 - 二

2018-2019-20172309 《程式設計與資料結構（下）》實驗二報告

課程：《程式設計與資料結構（下）》 班級：1723 姓名： 王志偉 學號：20172309 實驗教師：王志強老師 實驗日期：2018年11月2日 必修/選修： 必修 實驗內容： 實驗一：實現二叉樹。 1.參考教材p212,完成鏈樹LinkedBinaryTree的實現（getRight,conta

淺談資料中心（IDC）網路大二層技術

    一、為什麼需要大二層     1.虛擬化對資料中心提出的挑戰 傳統的三層資料中心架構結構的設計是為了應付服務客戶端-伺服器應用程式的縱貫式大流量，同時使網路管理員能夠對流量流進行管理。工程師在這些架構中採用生成樹協議(STP)來優化客戶端到伺服器的路徑和支援連線冗餘

資料結構（三）Stack和Vector原始碼分析

一、基本概念： 1、棧是什麼？ 是一個只能在某一端進行插入、刪除操作的線性表。 * 從棧頂插入一個元素稱之為入棧（push） * 從棧頂刪除一個元素稱之為出棧（pop） 2、圖解： 3、棧的實現： 鏈式儲存（連結串列） 順序儲存（陣列） 4

資料結構（java）——棧和佇列

今天的是一些資料結構中棧和佇列的基本操作，算是作為用java描述資料結構的一個開始。之前學的都是用c語言描述，現在因為開始準備java方向的一些事情，所以打算開始過一遍java的資料結構。棧   棧的特點是，棧裡面的元素是先進後出的形式。比如把1，2，3依次放進一個棧裡面，取

淺談演算法和資料結構（7）：二叉查詢樹

前文介紹了符號表的兩種實現，無序連結串列和有序陣列，無序連結串列在插入的時候具有較高的靈活性，而有序陣列在查詢時具有較高的效率，本文介紹的二叉查詢樹(Binary Search Tree，BST)這一資料結構綜合了以上兩種資料結構的優點。 二叉查詢樹具有很高的靈活性

數據結構（六）查找---二叉搜索樹（排序樹）

color 父節點 img hid warning close status 效率 spa 前提 前面的查找我們都是靜態查找，因為數據集是有序存放，查找的方法有多種，可以使用折半，插值，斐波那契等，但是因為有序，在插入和刪除操作上的效率並不高。 這時我們就需要一種動態查找

資料結構（四）之二叉樹

二叉樹 二叉樹可以用陣列和鏈式結構這兩種方式來建立，這裡只介紹二叉樹的鏈式結構，並且實現二叉樹的前序、中序和後序遍歷。（運用二叉樹組定義靜態二叉樹的方式以註釋的形式寫明） 二叉樹的建立有三種方式：前序、中序和後序。這裡只展現了前序遍歷的方式。 #include<

資料結構（四）二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷 0. 樹的表示 typedef struct TreeNode *BinTree; struct TreeNode{ int Data; // 存值 BinTree Left; // 左兒子結點 BinTree Right;

圖解資料結構（8）——二叉堆

十二、二叉堆（Binary Heap） 經歷了上一篇實現AVL樹的繁瑣，這篇就顯得非常easy了。 首先說說資料結構概念——堆（Heap），其實也沒什麼大不了，簡單地說就是一種有序佇列而已，普通的佇列是先入先出，而二叉堆是：最小先出。 這不是很簡單麼？如果這個佇列是用陣列實現的話那用打擂臺的方式

資料結構（C++） 二叉樹模板類

1.二叉樹 遞迴定義：一顆二叉樹是結點的有限的集合，該集合或者為空或者是由一個根節點加上兩顆分別稱為左子樹和右子樹、互不相交的二叉樹的組合。 二叉樹的左右子樹都還是二叉樹，到達空子樹的時候遞迴定義結束。許多基於二叉樹的演算法都利用了這個遞迴特性。

資料結構（一）-----二叉樹

  一、二叉樹簡介 1、二叉樹簡介 二叉樹是由n（n>=0）個結點組成的有序集合，集合或者為空，或者是由一個根節點加上兩棵分別稱為左子樹和右子樹的、互不相交的二叉樹組成。     性質一：對於任何一棵二叉樹T，若葉子節點數為n0，度數

資料結構（四）之非遞迴遍歷二叉樹

void Inoder(Bitree root)//二叉樹的中序遍歷非遞迴 { IniStack(&S);//初始化一個棧 p=root; while(!isEmpty(S)||p!=NULL) { if(p!=NULL)//如果當前結點不為空進棧 { pu

資料結構（七）——樹結構(Tree) 之二叉樹的常用操作

一.鏈式儲存的二叉樹的操作 1.遍歷二叉樹 先序遍歷：根-->左-->右 中序遍歷：左-->根-->右 後序遍歷：左-->右-->根 2.二叉樹結點的查詢  結點的查詢也可以分為先序查詢，中序查詢和後序查詢。方式和遍

淺談演算法和資料結構（11）：雜湊表

在前面的系列文章中，依次介紹了基於無序列表的順序查詢，基於有序陣列的二分查詢，平衡查詢樹，以及紅黑樹，下圖是它們在平均以及最差情況下的時間複雜度： 可以看到在時間複雜度上，紅黑樹在平均情況下插入，查詢以及刪除上都達到了lgN的時間複雜度。 那麼

挖掘演算法中的資料結構（四）：堆排序之 二叉堆（Heapify、原地堆排序優化）

不同於前面幾篇O(n^2)或O(n*logn)排序演算法，此篇文章將講解另一個排序演算法——堆排序，也是此係列的第一個資料結構—–堆，需要注意的是在堆結構中排序是次要的，重要的是堆結構及衍生出來的資料結構問題，排序只是堆應用之一。 此篇涉及的知識點有： 堆

資料結構（六）-圖（二）--演算法篇

圖-常用演算法 4. 圖的連通性問題 在無向圖中，如果無向圖是連通圖，僅需從任意一點出發，進行深度優先搜尋或廣度優先搜尋，邊可訪問到圖中所有頂點。對非連通圖，則多個頂點出發進行搜尋，而每一次從一個新的起始點出發進行搜尋過程中得到的頂點訪問序列恰為