【BZOJ4712】洪水（動態dp）
【BZOJ4712】洪水（動態dp）
題面
BZOJ
然而是許可權題QwQ，所以粘過來算了。
Description
小A走到一個山腳下，準備給自己造一個小屋。這時候，小A的朋友（op，又叫管理員）打開了創造模式，然後飛到
山頂放了格水。於是小A面前出現了一個瀑布。作為平民的小A只好老實巴交地爬山堵水。那麼問題來了：我們把這
個瀑布看成是一個n個節點的樹，每個節點有權值（爬上去的代價）。小A要選擇一些節點，以其權值和作為代價將
這些點刪除（堵上），使得根節點與所有葉子結點不連通。問最小代價。不過到這還沒結束。小A的朋友覺得這樣
子太便宜小A了，於是他還會不斷地修改地形，使得某個節點的權值發生變化。不過到這還沒結束。小A覺得朋友做
得太絕了，於是放棄了分離所有葉子節點的方案。取而代之的是，每次他只要在某個子樹中（和子樹之外的點完全
無關）。於是他找到你。
Input
輸入檔案第一行包含一個數n，表示樹的大小。
接下來一行包含n個數，表示第i個點的權值。
接下來n-1行每行包含兩個數fr，to。表示書中有一條邊（fr，to）。
接下來一行一個整數，表示操作的個數。
接下來m行每行表示一個操作，若該行第一個數為Q，則表示詢問操作，後面跟一個引數x，表示對應子樹的根；若
為C，則表示修改操作，後面接兩個引數x，to，表示將點x的權值加上to。
n<=200000，保證任意to都為非負數
Output
對於每次詢問操作，輸出對應的答案，答案之間用換行隔開。
Sample Input
4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
Sample Output
3
1
4
題解
設\(f[i]\)表示從\(i\)出發走不到所有其葉子節點的最小代價。
顯然\(f[i]=min(Val[i],\sum_vf[v])\)，其中\(Val\)是刪去這個點的權值，\(v\)是\(i\)的兒子。
換種寫法的話，令\(g[i]\)表示已經考慮到的所有的兒子的\(f[i]\)之和，現在加入一棵新的子樹\(v\)。那麼就有\(f[i]=min(Val[i],g[i]+f[v])\)，這種東西似乎可以直接寫成矩陣的形式。
其中矩陣乘法是\(min\)和\(+\)的形式。
既然要支援動態修改，顯然動態dp來維護。
考慮在重鏈上如何轉移，首先我們設\(g\)
那麼轉移方程就是\(f[i]=min(Val[i],g[i]+f[h])\)。
那麼，我們只考慮重鏈上的轉移，即
\(\begin{bmatrix}0&f[h]\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0&Val[i]\\\infty&g[i]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&f[i]\end{bmatrix}\)
發現修改只會影響到\(g\)的值，那麼直接改改就好了。
事實上那個\(\infty\)的位置隨便寫啥應該都沒有問題的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
#define inf 1ll<<60
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n;
struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int dfn[MAX],ln[MAX],tim,fa[MAX],size[MAX],hson[MAX],top[MAX],bot[MAX];
void dfs1(int u,int ff)
{
fa[u]=ff;size[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
dfs1(v,u);size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
dfn[u]=++tim,ln[tim]=u;top[u]=tp;bot[u]=u;
if(hson[u])dfs2(hson[u],tp),bot[u]=bot[hson[u]];
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])
dfs2(e[i].v,e[i].v);
}
struct Matrix{ll s[2][2];}t[MAX<<2],tmp[MAX];
Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix ret;ret.s[0][0]=ret.s[0][1]=ret.s[1][0]=ret.s[1][1]=inf;
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
for(int k=0;k<2;++k)
ret.s[i][j]=min(ret.s[i][j],a.s[i][k]+b.s[k][j]);
return ret;
}
ll f[MAX],g[MAX],val[MAX];
void dp(int u,int ff)
{
f[u]=val[u];
if(hson[u])dp(hson[u],u),f[u]=min(f[u],f[hson[u]]);
else g[u]=inf;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])
dp(e[i].v,u),g[u]+=f[e[i].v];
f[u]=min(f[u]+g[u],val[u]);
tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};
}
void Build(int now,int l,int r)
{
if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}
int mid=(l+r)>>1;
Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
t[now]=t[rson]*t[lson];
}
void Modify(int now,int l,int r,int p)
{
if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(p<=mid)Modify(lson,l,mid,p);
else Modify(rson,mid+1,r,p);
t[now]=t[rson]*t[lson];
}
Matrix Query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
if(l==L&&r==R)return t[now];
int mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid)return Query(lson,l,mid,L,R);
if(L>mid)return Query(rson,mid+1,r,L,R);
return Query(rson,mid+1,r,mid+1,R)*Query(lson,l,mid,L,mid);
}
int GetVal(int x){return Query(1,1,n,dfn[x],dfn[bot[x]]).s[0][1];}
void Modify(int u)
{
while(u)
{
tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};Modify(1,1,n,dfn[u]);
u=top[u];if(u==1)break;
g[fa[u]]-=f[u];f[u]=GetVal(u);
g[fa[u]]+=f[u];u=fa[u];
}
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)val[i]=read();
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u=read(),v=read();
Add(u,v);Add(v,u);
}
dfs1(1,0);dfs2(1,1);dp(1,0);Build(1,1,n);
int Q=read();
while(Q--)
{
char ch[3];scanf("%s",ch);
int u=read();
if(ch[0]=='Q')printf("%d\n",GetVal(u));
else val[u]+=read(),Modify(u);
}
return 0;
}