題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

設 dp[ i ] 表示 i 個點時連通的方案數。

考慮算補集：連通的方案數 == 隨便連方案數 - 不連通方案數

不連通方案數就和很久之前做過的“地震後的幻想鄉”一樣，列舉一個連通的點集，其中需要一直包含一個“劃分點”保證不重複；其餘部分隨便連。注意還有從 i 個點裡選 j 個點作為連通點集的那個組合數。

\( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - \sum\limits^{i-1}_{j=1} dp[j]*C^{j-1}_{i-1}*2^{C^{2}_{i-j}} \)

\( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - (i-1)!\sum\limits^{i-1}_{j=1} ( dp[j]*\frac{1}{(j-1)!} )( 2^{C^{2}_{i-j}}*\frac{1}{(i-j)!} ) \)

就可以分治FFT啦！

一開始還記得指數是對 mod-1 取模，後來就忘了，調了好久……注意 mod-1 不是質數，且是偶數，所以2沒有逆元，算 C 的時候直接 /2 就行了。

在 L==R 的地方把 f [ ] 弄好。雖然也可以給 f 賦上 \( C^{2}_{i} \) 的初值，然後卷積的時候每次 -=\( (i-1)!*a[j] \)，就不用在 L==R 的時候特殊判斷了，但那樣可能因為總要乘 \( (i-1)! \)，會變慢。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include
 
<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=130005,M=N<<1,mod=1004535809,m2=mod-1;//N<<1
int n,len,r[M],f[M],g[M],a[M],b[M],jc[N],jcn[N],inv2;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='
 
0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:0;}
int pw(int x,int k,int md=mod)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%md;x=(ll)x*x%md;k>>=1;}return ret;}
int C(int n)///////%mod-1////
{return (ll)n*(n-1)/2%m2;}// /2
void init()
{
  //////  inv2=pw(2,m2-2,m2);//////m2!!!! m2 is not prime!!!!!
  jc[1]=1;for(int i=2;i<n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;
  jcn[n-1]=pw(jc[n-1],mod-2);
  for(int i=n-2;i>=0;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+1]*(i+1)%mod;//>=0
  for(int i=1;i<n;i++)g[i]=(ll)pw(2,C(i))*jcn[i]%mod;
}
void ntt(int *a,bool fx)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      int Wn=pw( 3,fx?(mod-1)-(mod-1)/R:(mod-1)/R );
      for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)
    for(int j=0,w=1;j<m;j++,w=(ll)w*Wn%mod)
      {
        int x=a[i+j], y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;
        a[i+j]=x+y;  upd(a[i+j]);
        a[i+m+j]=x+mod-y;  upd(a[i+m+j]);
      }
    }
  if(!fx)return; int inv=pw(len,mod-2);
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void solve(int L,int R)
{
  if(L==R){f[L]=(pw(2,C(L))-(ll)jc[L-1]*f[L])%mod+mod;upd(f[L]);return;}
  int mid=L+R>>1;  solve(L,mid);
  int d=R-L,i,j;
  for(len=1;len<d;len<<=1);
  for(i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?len>>1:0);

  for(i=0,j=L;j<=mid;i++,j++)a[i]=(ll)f[j]*jcn[j-1]%mod;//jcn
  for(;i<len;i++)a[i]=0;
  for(i=0,j=R-L;i<=j;i++)b[i]=g[i+1];
  for(;i<len;i++)b[i]=0;
  ntt(a,0); ntt(b,0);
  for(i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,1);
  for(int i=mid+1,j=i-L-1;i<=R;i++,j++)f[i]+=a[j],upd(f[i]);
  solve(mid+1,R);
}
int main()
{
  n=rdn(); init();
  solve(1,n);
  printf("%d\n",f[n]);
  return 0;
}