LuoguP4383 [八省聯考2018]林克卡特樹lct

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4383

分析:

• 題意等價於選擇\(K\)條點不相交的鏈，使得總路徑長度和最大。
• 設\(f[x][i][0/1/2]\)表示\(x\)子樹中選了\(i\)個，\(x\)的當前度數為\(0/1/2\)的答案。
• 然後我們感性理解一下可知，選\(k\)個點的方案，一定能夠從\(k-1\)個點的方案中轉移過來的，不會出現從\(k-i(i>1)\)上再選若幹個不在\(k-1\)的方案中的鏈轉移過來答案更優。
• 那麽由於我們選擇的鏈的權值是不斷變小的，可知\(dp\)值是個凸函數，且單峰。
  
• 使用帶權二分即可，對於本題，整數二分就可以通過。

代碼:

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 300050
typedef long long ll;
const ll inf = 1ll<<60;
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt,val[N<<1],n,K,siz[N];
// ll f[N][105][3],tmp[105][3];
struct A {
    ll x; int k;
    A() {}
    A(ll x_,int k_) {x=x_, k=k_;}
    bool operator < (const A &u) const {
        return x==u.x ? k>u.k : x<u.x;
    }
    A operator + (const A &u) const {
        return A(x+u.x, k+u.k);
    }
}f[N][3],ans,tmp[3];
inline void add(int u,int v,int w) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt; val[cnt]=w;
}
template<typename T>void chkmax(T &x,T y) {if(x<y)x=y;} 
template<typename T>void chkmin(T &x,T y) {if(y<x)x=y;}
ll C;
// void dfs(int x,int y) {
//  int i,j,k,p,q; siz[x]=1;
//  memset(f[x],0xc0,sizeof(f[x]));
//  f[x][0][0]=f[x][1][2]=0;
//  for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
//      dfs(to[i],x);
//      for(j=0;j<=K&&j<=siz[x];j++) for(k=0;k<3;k++) tmp[j][k]=f[x][j][k], f[x][j][k]=-inf;
//      int t=to[i],len=val[i];
//      for(j=0;j<=K&&j<=siz[x];j++) {
//          for(k=0;k<=K-j+1&&k<=siz[to[i]];k++) {
//              //not choose
//              for(p=0;p<3;p++) for(q=0;q<3;q++) chkmax(f[x][j+k][p],tmp[j][p]+f[t][k][q]);
//              //choose
//              chkmax(f[x][j+k+1][1],tmp[j][0]+f[t][k][0]+len);
//              chkmax(f[x][j+k][1],tmp[j][0]+f[t][k][1]+len);
//              chkmax(f[x][j+k][2],tmp[j][1]+f[t][k][0]+len);
//              chkmax(f[x][j+k-1][2],tmp[j][1]+f[t][k][1]+len);
//          }
//      }
//      siz[x]+=siz[to[i]];
//  }
// }
void dfs(int x,int y) {
    int i,p,q;
    f[x][0]=A(0,0); f[x][1]=A(-inf,0); f[x][2]=A(C,1);
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
        int t=to[i];
        dfs(to[i],x);
        memcpy(tmp,f[x],sizeof(f[x]));
        f[x][0]=f[x][1]=f[x][2]=A(-inf,0);
        //not choose
        for(p=0;p<3;p++) for(q=0;q<3;q++) chkmax(f[x][p],tmp[p]+f[t][q]);
        chkmax(f[x][1],tmp[0]+f[t][0]+A(val[i]+C,1));
        chkmax(f[x][1],tmp[0]+f[t][1]+A(val[i],0));
        chkmax(f[x][2],tmp[1]+f[t][0]+A(val[i],0));
        chkmax(f[x][2],tmp[1]+f[t][1]+A(val[i]-C,-1));
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&K);
    K++;
    int i,x,y,z;
    for(i=1;i<n;i++) {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z); add(y,x,z);
    }
    // dfs(1,0);
    // printf("%lld\n",max(max(f[1][K][0],f[1][K][1]),f[1][K][2]));
    ll l=-1e9, r=1e9;
    while(l<r) {
        ll mid=(l+r)>>1;
        C=mid; dfs(1,0);
        ans=max(max(f[1][0],f[1][1]),f[1][2]);
        if(ans.k>K) r=mid;
        else if(ans.k==K) {
            printf("%lld\n",ans.x-K*C); return 0;
        }
        else l=mid+1;
    }
    l--;
    C=l; dfs(1,0);
    ans=max(max(f[1][0],f[1][1]),f[1][2]);
    printf("%lld\n",ans.x-K*C);
}
 

LuoguP4383 [八省聯考2018]林克卡特樹lct