FFT即快速傅立葉變換，離散傅立葉變換及其逆變換的快速演算法。在OI中用來優化多項式乘法。

FFT涉及到的概念

多項式

可表示為$A(x)$。設$A(x)$為$n$次，那麼有$A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

係數表示法：

即用$n+1$個係數來表示一個$n$次多項式，寫作$(a_0,a_1,...,a_n)$。

我們可以將$(a_0,a_1,...,a_n)$看做一個係數向量。

點值表示法：

當自變數$x$分別取$n+1$個不同的值時，會得到$n+1$個對應的結果。可以將多項式看做一個$n$次函式，這個函式被$n+1$個點$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$確定。

我們可以將$(A(x_0),A(x_1),...,A(x_n))$看做一個點值向量。也就是$(y_0,y_1,...,y_n)$

複數

形如$a+bi$，可以理解為複平面上的向量$(a,b)$

複數的乘法法則幾何意義上可以理解為模長相乘，幅角相加。代數意義上可以理解為$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$

單位根

在複平面內以原點為圓心，1為半徑作圓。稱這個圓為單位圓。

以$(1,0)$為起點，將圓$n$等分。設點$(1,0)$為第0個，那麼這些等分點稱為$n$次單位根。記作$\omega_n^k$。由於模長均為1，所以根據複數乘法法則，這$n$個等分點可以依次表示為$\omega_n^0$，$\omega_n$，$\omega_n^2$，...，$\omega_n^{n-1}$

根據三角函式，很容易推得單位根的表示方法：$\omega_n^k=cos\dfrac{2k\pi}{n}+isin\dfrac{2k\pi}{n}$ （尤拉公式）

性質一：$\omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k$ （表示的是同一個點）

性質二：$\omega_n^k=-\omega_n^{k+\frac{n}{2}}$ （關於原點中心對稱）