#「反演」學習筆記 ~~小聲bb：本來看skyh推的部落格，是來學容斥的，莫名其妙被強塞了反演~~ ## 概念 好多童鞋還不知道啥是反演，反正聽起來挺牛逼的，~~誰會誰被膜~~。 比如說有兩個未知量 $x,y$，我們用 $x$ 表達出來了 $y$，比如一個一次函式： $$y=kx+b$$ 那麼我們用 $y$ 表示 $x$ 就是： $$x=\frac{y-b}{k}$$ $emmmm$，這差不多就是個反演。 然後我們就搞高階一點： 假設有兩個函式 $f$ 和 $g$ 滿足： $$f[n] = \sum_{k}a_{n,k}\times g[k]$$ 已知 $f$ 求 $g$ 的過程就叫做「反演」。 ## 二項式反演 ### 例題 有 $n$ 個小盆友，每個人有一個編號 $1,2...,n$ 。 將這 $n$ 個小盆友排成一列，編號為 $i$ 的小盆友不能在第 $i$ 個位置。 求出所能排隊的方案數，$n\leq 10^5$ 。 ### 簡單容斥（聽說小學生都會？？） * 假設 $n=3$ 。 我們拿出高一老師~~（？？）~~常拿的韋恩影象：  定義： $A$ 集合：編號為 $1$ 的小盆友站到 $1$ 的方案數。 $B$ 集合：編號為 $2$ 的小盆友站到 $2$ 的方案數。 $C$ 集合：編號為 $3$ 的小盆友站到 $3$ 的方案數。 我們要求的就是 $n! - |A\cup B\cup C|$，用簡單的容斥可得： $ans=n! - (|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+ |A\cap B\cap C|)$ ### 得出公式 我們可以大膽猜想： $$ans = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}\times (n - k)!\;(假設 0!=1)$$ * 什麼意思？ $\binom{n}{k}\times (n - k)!$ 表示強硬的將 $k$ 個人放到自己應該放的位置（$i$ 放到第 $i$ 個位置），剩下 $n-k$ 個人隨便放的方案數。 * 為啥要加一個 $(-1)^k$？ 比如說你加上了一個 $k=2$ 的方案數，強硬地將 $2$ 個人，後面我們統計 $k=3$ 時，我們會發現：在前面 $k=2$ 時，可能有某個小盆友被放到了自己應該放的位置，所以要 減去這些被多餘統計的方案，加法同理。 ### 新定義 定義 $f[n]$ 表示 $n$ 個人隨便站的方案數。 定義 $g[n]$ 表示 $n$ 個人都不站在自己應該在的位置的方案數。 這樣我們直接列舉有多少個人站錯位置，便可求出 $f[n]$。 $$f[n]=\sum_{k=0}^{n}\times \binom{n}{k}\times g[k]$$ 但是我們會發現，我們可以直接用 $f[n] = n!$ 求出 $f[n]$，而且我們還不會求出 $g[n]$，難受～～～ ### 小鑰匙 我們會發現之前解決那個例題的公式中有一個這個東東： $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}$$ 易得：這個東東只有 $n=0$ 時才為 $1$，否則即為 $0$ 。 * 我們再引進一個神犇數學符號：$[P]$，表示條件 $P$ 符合時，為 $1$；否則即為 $0$，（好像一個 $bool$）。 所以上面那個東東就可以化為： $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}=[n=0]$$ ### 反演 之前我們新定義裡： 用 $g[n]$ 表示出了 $f[n]$，然而我們並不知道 $g[n]$，反而知道 $f[n]$，我們就需要一些騷操作（~~繁衍~~呸，反演），來求出 $g[n]$ 。 說一句廢話： $$g[n] = \sum_{m=0}^{n}[n=m]\times \binom{n}{m}\times g[m]$$ 改一下這個廢話： $$g[n] = \sum_{m=0}^{m}[n-m=0]\times \binom{n}{m}\times g[m]$$ 哦！！！中間那個條件，我們是不是可以用一下那個小鑰匙？ $$g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-m}{k}\times \binom{n}{m}\times g[m]$$ 看一看中間那兩個噁心的組合數： 可以考慮為從 $n$ 個物品裡，先選 $m$ 個，再從 $n-m$ 個裡選 $k$ 個的方案數。 可以變為為從 $n$ 個物品裡，先選 $k$ 個，再從 $n-k$ 個裡選 $m$ 個的方案數，組合數可以變為： $\binom{n-k}{m}\times \binom{n}{k}$ 。 原式變為： $$g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times \binom{n}{k}\times g[m]$$ 交換一下： $$g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times g[m] \times \binom{n}{k}$$ 然後將 $m$ 和 $k$ 交換一下： $$g[n] = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{n-k}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times g[m] \times \binom{n}{k}$$ 再次交換： $$g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\times \binom{n}{k} \sum_{m=0}^{n-k} \binom{n-k}{m}\times g[m]$$ 誒！！後面那個東東就是 $f[n - k]$，可，我們成功了！！！ $$g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\times \binom{n}{k} \times f[n-k]$$ $emmmm$，好醜，寫好看一點： $$g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\times \binom{n}{k} \times f[k]$$ ### 得出結果 $$f[n]=\sum_{k=0}^{n}\times \binom{n}{k}\times g[k]$$ $$g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\times \binom{n}{k} \times f[k]$$ ~~這個好像就是二項式反演~~ 可能與 $A$ 層的巨佬們學的有點不同，有錯誤，請見諒我這個蒟蒻。 ## 莫比烏斯反演 ### 例題 小盆友學英語，他拿到 $26$ 個小寫字母，他拼出若干個長度為 $n$ 的字串，求出有多少個字串的迴圈節恰好為 $n$，$n\leq 10^9$ 。 連小盆友都知道迴圈節是啥，不用我說吧....~~（最短的一個子串複製若干遍後拼起來跟原串相等的字串）。~~ ### 新定義 定義 $f[n]$ 表示長度為 $n$ 的字串的個數，顯然是 $26^n$ 。 定義 $g[n]$ 表示長度為 $n$ 且迴圈節長度為 $n$ 的字串的個數。 可以得出： $$f[n] = \sum_{d|n}g[d]$$ ### 小鑰匙 上次我們用了一個條件表示式，打開了反演的關鍵，這個我們同樣搞一個： 定義一個 $\mu[n]$ 滿足：~~（莫某某某搞的）~~ $$\sum_{d|n}\mu[d] = [n=1]$$ 其實這個就是莫比烏斯函式，至於性質，可以看一眼[龍蝶的](https://www.cnblogs.com/DZN2004/p/13720658.html)。 ### 反演 同樣，我們說一句廢話： $$g[n] = \sum_{m|n}[n=m]\times g[m]$$ 將條件表示式變一下： $$g[n] = \sum_{m|n}[\frac{n}{m}=1]\times g[m]$$ 好，用我們的小鑰匙： $$g[n] = \sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}}\times \mu[d] \times g[m]$$ 上次我們將 $m$ 和 $k$ 進行了交換，這次怎麼處理呢？ 我們會發現 $n$ 能將 $m$ 整除，$\frac{n}{m}$ 能將 $d$ 整除，所以我們可以得出 $n$ 既能將 $m$ 整除，又能將 $d$ 整除，這樣我們就可以將 $m$ 和 $k$ 交換了。 $$g[n] = \sum_{d|n}\sum_{m|\frac{n}{d}}\times \mu[d] \times g[m]$$ 交換一下： $$g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\sum_{m|\frac{n}{d}} \times g[m]$$ 不錯，後面那個東東又可以化為我們的 $f$，可 $$g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\times f[\frac{n}{d}]$$ ### 得出結果 $$f[n] = \sum_{d|n}g[d]$$ $$g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\times f[\frac{n}{d}]$$ ~~這個好像就是莫比烏斯反演~~ ## 其他反演敬請期待